微積分 計算題

Question

光源照在一物上的照明度與光源的強度成正比，而與光源的距離成反比，今有兩光源甲與乙彼此相距10呎，甲的強度是乙的三倍。現在要在此兩光源間放一個物體丙。問丙要放在距離乙多遠，才會有最弱的照明度?

Answer 1

假設照明度公式為
H(P,r)=kp/r
其中k為常數, P為光源的強度, r為光源的距離
假設甲光源強度為3a, 乙光源強度為a
丙距離乙 r呎, 則甲距離丙 10-r呎
由甲光源的照明度為 H1=k*3a/(10-r)
由乙光源的照明度為 H2=k*a/r
照明度=max{H1,H2}
r由0開始增加, H2遞減, H1遞增, 照明度=H2
當相等時, 照明度=H2=H1,
r繼續增加, 照明度=H1,
由此可見, 當H1=H2時, 照明度才有最小值
此時 k*3a/(10-r)=k*a/r , 得出 r=2.5
丙要放在距離乙 2.5呎