寶石價格與重量平方成正比，斷裂後金額損失的問題

Question

模仿這題http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306032604033設寶石的價格與其整塊重量平方成正比，某人有一塊寶石，今不慎摔裂成兩塊，其重量比為a:b，則此人損失金額最多為原價的百分之幾？此時a,b為何？請附過程。

Answer 1

根據您上一篇的回答:
事實上，我們可算出，若裂成重量比a:b的兩塊，則損失金額為[原價*2ab/(a+b)^2]

因此您是想求 2ab/(a+b)^2 的最大值吧

利用算幾不等式: a + b ≧ 2 * √(ab)
平方得 ( a + b )^2 ≧ 4ab
於是
2ab/(a+b)^2 ≦ ( 2ab ) / ( 4ab ) = 1/2 ... 因為在分母, 所以不等式反過來
等號成立時, a = b
即, a : b = 1 : 1時, 2ab/(a+b)+b)^2 = 1/2 為最大值
換句話說, 摔成相等的二塊時, 損失的金額 = 原價的一半, 為最大值

2006-03-27 16:42:27 補充：
摔裂後第一塊的的金額 : 摔裂前整塊的金額 = a^2 : (a + b)^2 摔裂後第二塊的的金額 : 摔裂前整塊的金額 = b^2 : (a + b)^2 摔裂後的總金額金額 : 摔裂前整塊的金額= (a^2 + b^2) : (a + b)^2所以損失的比率= 1 - [ (a^2 + b^2) / (a + b)^2 ]= [ a^2 + b^2 + 2ab - (a^2 + b^2) ] / (a + b)^2= 2ab / (a + b)^2

2006-03-27 18:33:47 補充：
TO 克勞棣:
我補充了

Answer 2

烏龜大哥：
我的意思並不難懂吧！
不同的摔法有不同的損失，請問怎樣摔損失最多？
7680並不是最多的，還可以損失更多。

2006-03-27 15:52:09 補充：
vbboyy：
損失金額為[原價*2ab/(a+b)^2]
這是我算的，你怎麼知道我算的是對的呢？要自己算呀！
損失金額為[原價*2ab/(a+b)^2]
並不是我在這一題給的條件。

Answer 3

設寶石原重Ｗ＝ａ＋ｂ，價錢為Ｐ
且價格與整塊重量平方成正比
則
Ｐ／Ｗ^２=Ｃ(Constant)→Ｐ＝Ｃ＊Ｗ^2
現在摔成兩塊
重量比為
ａ：ｂ
則價錢為
Ｐａ＝Ｃ＊ａ^２
Ｐｂ＝Ｃ＊ｂ^２
Ｐａ＋Ｐｂ＝Ｃ（ａ^２＋ｂ^２）
欲求損失價錢為原價之多少
則式子為［Ｐ－（Ｐａ＋Ｐｂ）］／Ｐ
＝［Ｃ＊Ｗ^2－Ｃ（ａ^２＋ｂ^２）］／Ｃ＊Ｗ^2
＝［Ｗ^2－（ａ^２＋ｂ^２）］／Ｗ^2（約分Ｃ）
＝１－（ａ^２＋ｂ^２）／Ｗ^２
＝１－［（ａ＋ｂ）^２－２ａｂ］／Ｗ^２
＝１－（ａ＋ｂ）^２／Ｗ^２＋２ａｂ／Ｗ^２（Ｗ＝ａ＋ｂ）
＝１－１＋２ａｂ／Ｗ^２
＝２ａｂ／Ｗ^２ｂ←損失金額最多為原價的百分之幾的答案
將上面答案Ｘ１００％就可以得到損失百分率了
然後再將損失百分率Ｘ原金額就可以得到損失多少錢了

2006-03-27 14:51:11 補充：
＝２ａｂ／Ｗ^２，多打一個ｂ抱歉

2006-03-27 14:53:36 補充：
驗證一下你題目給的一些數據原重４０公克，金額１６０００元摔成兩片，比值２：３可求得一片為１６公克，另一片為２４公克所以損失百分率為２＊１６＊２４／４０^２＊１００％＝４８％損失金額為１６０００＊４８％＝７６８０元

2006-03-27 14:55:35 補充：
ａ與ｂ的值則要看題目如何給了