關於餘式 因式定理的問題....(20點)

Question

若f(x)除以x+1餘3，除以x-2餘15則f(x)除以(x+1)(x-2)之餘式為何?

Answer 1

假設
f(x) 除以(x+1)(x-2)的餘式為ax+b (因為除式為二次,所以餘式為一次)
即 f(x)=(x+1)(x-2)*商+(ax+b) ---------(1)

則因為
若f(x)除以x+1餘3 f(x)=(x+1)*商+3
所以 f(-1)=3
又除以x-2餘15 f(x)=(x-2)*商+15
所以f(2)=15

把x=-1和2帶入(1)式
得到
f(-1)=-a+b=3
f(2)=2a+b=15
解聯立可得
3a=12 a=4 b=7

所以 餘式=4x+7

Answer 2

我一直懷疑，這類問題可否用中國剩餘定理解，不過，就試試看吧！令特解g(x)=(x-2)Q(x)+15則(x-2)Q(x)+15≡3(mod x+1)(x-2)Q(x)+12≡0(mod x+1)取Q(x)=4g(x)=4(x-2)+15=4x+7則f(x)≡4x+7(mod (x+1)(x-2))---註餘式必然是4x+7----為什麼呢？假設存在另一多項式h(x)，使得h(x)除以x+1餘3，除以x-2餘15，則g(x)-h(x)為(x+1)的倍式，且g(x)-h(x)為(x-2)的倍式，因此g(x)-h(x)為(x+1)與(x-2)的最小公倍式的倍式，但(x+1)與(x-2)無公因式，因此其最小公倍式即為(x+1)*(x-2)，故g(x)-h(x)≡0(mod (x+1)(x-2))h(x)≡g(x)(mod (x+1)(x-2))因此對於任一符合條件的f(x)，f(x)≡g(x)(mod (x+1)(x-2))

Answer 3

假設 f(x)=(x+1)(x-2)q(x)+ax+bf(-1)=-a+b=3 ...(1)f(2)=2a+b=15 ...(2)(2)-(1) => 3a=12 => a=4代入(1) => b=7餘式為ax+b=4x+7

Answer 4

①  f(x) 除以 x+1 餘 3   ==> f(- 1) = 3       f(x) 除以 x- 2 餘 15 ==> f(2) = 15②  設 f(x)= (x+1)(x-2)q(x)+(ax+b)     由 f(- 1) = 3  ==> -a+b=3     ❶       由 f(2) = 15  ==> 2a+b=15   ❷③  由 ❶❷解得 a=4, b=7   故所求餘式為 4x+7