為什麼兩點可以解出直線方程式ax+by+c=0？(10點)

Question

我們知道平面上兩點決定一直線，又知道解出三個未知數需要三個方程式。如果我們以ax+by+c=0作為直線標準式。給定平面上兩點(a1,b1)和(a2,b2)，則我們可以求出通過這兩點的直線方程式，方法不只一種，其中之一是把x=a1,y=b1和x=a2,y=b2分別代入ax+by+c=0，則可以產生a,b,c的兩個方程式，解聯立方程組，可以得到所求直線。問題來了，為什麼兩個方程式可以解出a,b,c三個數(不是要三個方程式嗎)？反之，如果兩個方程式解不出a,b,c三個數，為什麼說兩點決定一直線？這是我想出的觀念誤導題，觀念正確者自然就知道為什麼，如果太容易破解，見諒！我只是覺得這可能是很多人會混淆的觀念，所以故意提出來考大家。看誰能一針見血指出不是矛盾的矛盾。

我說以ax+by+c=0作為直線「標準」式，意思就是不可以把它改為y=dx+e，況且我想解的是a,b,c，並不是d,e。
或者換個說法，如果不把ax+by+c=0改為y=dx+e，難道就解不出直線嗎？我不說是，也不說否，答案給網友們自己想。

Answer 1

兩個方程式只能解出a,b,c的比例關係或其中一數為定值，另兩數的比例
但這就足夠決定一條直線了
(1)鉛直線(b=0)，例如過點(1,1)，(1,2)
代入ax+by+c=0中，可解得b=0，a=-c
所以-cx+c=0 => x=1
(2)水平線(a=0)，例如過點(1,1)，(2,1)
代入ax+by+c=0中，可解得a=0，b=-c
所以-cy+c=0 => y=1
(3)斜直線(a,b≠0)，例如過點(1,1)，(2,3)
代入ax+by+c=0中，得a+b+c=0與2a+3b+c=0
可解得a=-2b，c=b，所以-2bx+by+b=0 => -2x+y+1=0(因為b≠0，可約掉)

Answer 2

ax+by+c=0
把它改寫後
=>by=-ax-c
=>y=(-a/b)x+(-c/b) 令-a/b = d (-c/b)= e
=>y=dx+e 把兩個點帶進去 就是解d和e兩個未知數的兩個二元一次方程式
即可聯立求解

2006-03-27 00:20:16 補充：
這個問題我曾經提出來考家教學生還蠻不錯的

Answer 3

同上

因為實際上並未求出a b c ~

只是求出

a:b:c

但通常會把 a:b:c 化簡 最簡數abc再重復找一個點(在直線上的任一點)

帶入ax by c即可得

以下例子
(1，5).(２，７)
這兩個點給不懂得人算
他因該會問你
得出
-2b=a或 2=-a/b 或 ...
-3b=c或 3=-a/b 或...
然後沒辦法求解阿~

1.a1 b5 c=0
2.-2b=a
3.-3b=c
三個方程求三個未知數

(忍不住)把答案算一遍好了

2.3帶入1
0= -2b 5b-3b
b= -1
分別帶入2.3
a=2
b=3
此方程為 y=2a+3也就是 2a-y+3=0

我這樣寫因該可能 會比較明白一點

Answer 4

因為你實際上並未求出a b c ~

Answer 5

嗯＠＠＂多謝指正

Answer 6

雖然是3個未知數, 2個方程式
然而這2個方程式的常數項皆為0
因此解出來的a, b, c必定會成比例
所以雖然是無限多解
卻都代表同一條直線

但是, 並不是無限多解皆可以是同一條直線,
必須是上述的"常數項皆為0"
否則解出來的a, b, c不會成比例

Answer 7

兩個方程式只能解出a,b,c的比例關係或其中一數為定值，另兩數的比例
但這就足夠決定一條直線了
(1)鉛直線(b=0)，例如過點(1,1)，(1,2)
代入ax+by+c=0中，可解得b=0，a=-c
所以-cx+c=0 => x=1
(2)水平線(a=0)，例如過點(1,1)，(2,1)
代入ax+by+c=0中，可解得a=0，b=-c
所以-cy+c=0 => y=1
(3)斜直線(a,b≠0)，例如過點(1,1)，(2,3)
代入ax+by+c=0中，得a+b+c=0與2a+3b+c=0
可解得a=-2b，c=b，所以-2bx+by+b=0 => -2x+y+1=0

Answer 8

通過兩相異點的直線是唯一的。
但直線的方程式卻不是唯一的。
方程式兩邊乘上一個非零的常數亦為同一條直線，卻是不同的方程式。
(a'-a)X1+(b'-b)Y1+(c'-c)=0
=>a'=a,b'=b,c'=c
根本不會成立。

Answer 9

直線方程式ax+by+c=0,假使我們把該方程式乘以一個不為0的常數t:(ta)x+(ty)+tc=0,我們發現該方程式與原方程式所通過的點是一樣的,也就是說該方程式的a,b,c 三數不一定要唯一,再更進一步說,a,b,c可以有無限多種情形,既然,a,b,c可以有無限多種情形,以a,b,c三個未知數的方程式可以有三組,二組,甚至一組,以兩組方程式來說,它還是可以決定唯一的一直線,因此正確的說法是:兩點可以決定唯一的一直線,而決定此唯一一直線的a,b,c可以有無限多種情形,因此它並不一定要三組方程式來解,所以兩者並不違背我這裡用到"唯一",說明如下:假設ax+by+c=0為通過(X1,Y1),(X2,Y2)兩點的直線方程式,假設有另一直線方程式a'x+b'y+c'=0也通過(X1,Y1),(X2,Y2),則a'X1+b'Y1+c'=0,但aX1+bY1+c=0=>(a'-a)X1+(b'-b)Y1+(c'-c)=0=>a'=a,b'=b,c'=c=>故通過兩點的直線方程式是唯一

2006-03-27 05:03:58 補充：
我再補充一點:通過相同點的方程式是唯一的

2006-03-27 19:05:42 補充：
vbboyy:我解答是說決定方程式ax+by+c=0的a,b,c可以有無限
多組可能,跟a,b,c有無限多組解
可決定一直線的意思是不一樣的

2006-03-28 01:29:47 補充：
上面的回答有遐疵,應該是過相異兩點的直線是唯一,而不是方程式

Answer 10

我就是我：
我考大家的問題，絕不是你考學生的問題。
為什麼兩個方程式可以解出a,b,c三個數(不是要三個方程式嗎)？反之，如果兩個方程式解不出a,b,c三個數，為什麼說兩點決定一直線？
你並沒有回答這兩個問題。

2006-03-27 11:28:28 補充：
應該是a'/a=b'/b=c'/c
而且應該兩點都代進去才對。

2006-03-28 21:50:20 補充：
捷運關渡站的喵貓：
你這就是矯枉過正了， ax1+by1+c=0 ......(1)
ax2+by2+c=0 ......(2)
這當然是三元一次聯立方程"組"，你前面舉的例子，是自己跟自己可以消，而這組方程式，要兩式互減才能消去c，自己不論如何等號兩邊同乘同除同加同減，都是消不掉a,b,c任何一個未知數的，所以兩式都仍是三元一次方程式。
請注意三元一次方程"組"和三元一次方程"式"的差別。

2008-05-14 00:15:49 補充：
說穿了很簡單，a,b,c的值本來就求不出來，但只要固定a:b:c，
所得的無限多條直線其實都是同一條。

(1，5).(２，７)所決定的直線是：
2x-y+3=0
-2x+y-3=0
4x-2y+6=0
6x-3y+9=0
...........
(a,b,c)有無限多組，但都是同一條直線。