2題有水準的數學題目！！

Question

1.試求滿足〈x+93〉‧P〈x-93〉+〈x-93〉‧P〈x+93〉=2x‧P〈x〉的實係數多項式 P〈x〉

2. m, n為正整數，試証該兩數的乘積mn為偶數的充要條件為存在二非負整數p, q使得 m平方+n平方+p平方=q平方

Answer 1

第1題
令x=-93代入，得P(0)=P(-93)
令x=93代入，得P(0)=P(93)
假設P(0)=P(-93)=P(93)=k
所以P(x)=k有三個實根0,-93,93
必存在實係數多項式Q(x)
使得P(x)=x(x+93)(x-93)*Q(x)+k
將上式代入原式並消去x(x+93)(x-93)化簡成
(x-186)*Q(x-93)+(x+186)*Q(x+93)=2x*Q(x) ........(*)
因為上式對任意不為0,93,-93的實數皆成立
令x=186=93*2代入(*)，得93*4*Q(93*3)=4*93*Q(93*2) => Q(93*3)=Q(93*2)
同理令x=93*3代入(*)，可推得Q(93*3)=Q(93*4)
由數學歸納法，不難證明
對任意自然數n≧2，Q(93*2)=Q(93*3)=......=Q(93*n)
所以Q(x)是常數多項式，即Q(x)≡t，t是實數，代入(*)中
得 t(x-168)+t(x+168)=2xt，明顯成立
所以P(x)= tx(x+93)(x-93)+k，其中t,k是任意實數

Answer 2

To:chuchu，為什麼(x-186)*Q(x-93)+(x+186)*Q(x+93)=2x*Q(x) 對任意不為0,93,-93的實數皆成立，93,-93,0代入會怎樣??

Answer 3

TO 灝灝
您說: 設m=3，n=4，但是mn乘積不為偶數
好像錯了吧

Answer 4

第一題P(x)=1，可是不知是否唯一解。
第二題其實不太難：
m^2+n^2+p^2=q^2
←→m^2+n^2=(q+p)(q-p)
←→m^2+n^2可分解為偶數*偶數或奇數*奇數(若m^2+n^2只能分解為偶數*奇數，則p,q不為整數)
←→m,n皆為偶數或一偶一奇(若m,n皆為奇數，則m^2+n^2只能分解為偶數*奇數)
←→mn乘積為偶數

Answer 5

第二題的題目應有問題
題目：m, n為正整數，試証該兩數的乘積mn為偶數的充要條件為存在二非負整數p, q使得 m平方+n平方+p平方=q平方
所以可以知道
m, n為正整數，存在二非負整數p, q使得 m平方+n平方+p平方=q平方 則 該兩數的乘積mn為偶數
但我們可以簡單舉一反例
設m=3，n=4，p=0，q=5則可滿足方程式及條件，但是mn乘積不為偶數