費氏數列與幾何圖形證明：面積近似的四邊形與三角形(10點)

Question

如圖，三角形AED是直角三角形，∠AED是直角，線段AE長為p，線段ED長為r；三角形DFC是直角三角形，∠DFC是直角，線段DF長為q，線段FC長為s；四邊形EBFD為長方形；而p,q,r,s四個數為費氏數列的連續四項。則r/p≒s/q≒(1.618)2≒2.618，這是一個觀察，不算條件。可證得A,D,C三點不共線，因此ABCD是一個凸四邊形或凹四邊形，請證明：三角形ABC面積 － 四邊形ABCD面積=0.5或-0.5，亦即│三角形ABC面積 － 四邊形ABCD面積│=0.5

Answer 1

設F(0,0),A(r,p+q),D(0,q),C(-s,0)
所求=ACD=(1/2)|A C D A|
=(1/2)|rq-s(p+q)+sq|=(1/2)|rq-sp|=(1/2)|rq-(q+r)p|=(1/2)|q(r-p)-rp|=(1/2)|q^2-rp|=1/2
q.e.d.

Answer 2

p,q,r,s四個數為費氏數列的連續四項
所以可以列出假設
p=1, q=2, r=3, s=5
所以
三角形ABC面積
=(p+q)(r+s)/2
=3×8/2
=12

而四邊形ABCD面積
=(pr/2)+(rq)+(qs/2)
=1.5+6+5
=12.5

所以│三角形ABC面積 － 四邊形ABCD面積│=0.5

可以直接算
(p+q)(r+s)/2-((pr/2)+(rq)+(qs/2))
=(p+q)(2p+3q)/2-(p(p+q)/2)-((p+q)q)-(q(p+2q))/2
=(3q^2+pq-3p^2)/2
下面的我下午再證
現在沒空