高等微積分證明一題

Question

設f(x)≧0, for all x屬於[0,1],and is continuous on [0,1], if ∫(1~0)f(x)dx=0證明f(x)=0 for all x屬於[0,1]

可不可以說明你證明的整個架構

請問一下"gclin",F(x)=∫(x~a)f(t)dt≦∫(1~0)f(t)dt=0
=>F(x)=0,for all x in Ia,for all a>0,這能保證F'(x)=0,for all x in Ia,for all a>0嗎?

不好意思,再請問一下.f(0)=lim(a->0)f(a)=0,f(1)=lim(x->1)f(x)=0,是如何得知?

Answer 1

theare2:此題既是高等微積分,你這樣的陳述可能拿不到分數
因為重點在f為連續函數
所以你的說明才會是正確的,而這正是此題要你證明的
否則f不為0的部分可能是measure 0,但f卻不等於0
也可能函數正的值總和負的值總和
不會抵銷,因為不能抵銷的部分也是measure zero

2006-03-27 08:08:01 補充：
theare2:其實這一題也不難證,你一定能證出來

只需利用微積分基本定理
並說明F(x)=∫(x~0)f(t)dt在[0,1]
為常數函數,故f=F'=0即可

加油

2006-03-27 11:52:40 補充：
老王的想法,還是會遇到一些困難,其實,利用The second fundamental theorem of calculus就很容易證出,
令F(x)=∫(x~a)f(t)dt, 顯然 f continous on Ia=(a,1),for all a>0
因此,由The second fundamental theorem of calculus得知
F'(x)=f(x) for all x in Ia, for all a>0
又因為f(x)≧0, for all x屬於[0,1],
所以 F(x)=∫(x~a)f(t)dt <= ∫(1~0)f(t)dt=0 for all x in Ia, for all a>0
故F'(x)=0 即 f(x)=0 for all x in Ia, for all a>0
又因為fcontinous, f(0)=lim a->0 f(a) =0 , f(1)=lim x->1 f(x) =0
故證得f(x)=0 for all x屬於[0,1]
Q.E.D.

2006-03-27 14:58:17 補充：
for all a>0改為for all 1> a>0

2006-03-28 10:05:23 補充：
因為f(x)>=0所以0 <=F(x)=∫(x~a)f(t)dt <= ∫(1~0)f(t)dt=0 for all x in Ia, for all a>0因此F(x)=0故F'(x)=0 for all x in Ia, for all a>0

2006-03-28 10:09:24 補充：
對於任一b屬於(0,1),皆可找到a使得b屬於Ia 因此f(b)=0再由f連續得知f(0)=lim a->0 f(a) =0 , f(1)=lim x->1 f(x) =0

Answer 2

∵∫(1~0) f(x)dx=0
∴ (1) 若存在一x屬於 [0,1] , 使得 f(x) > 0
必存在一y屬於 [0,1] , 使得 f(y) < 0 , - f(y) = f(x) .
(2) 若存在一x屬於 [0,1] , 使得 f(x) < 0
必存在一y屬於 [0,1] , 使得 f(y) > 0 , f(y) = - f(x) .
但今假設 f(x)≧0, for all x屬於 [0,1] , 所以上述情形皆不存在 .
故 f(x)= 0 for all x屬於[0,1] #

2006-03-24 23:01:01 補充：
恩~"老王"先生的意見很對!選項(1) , (2)的 - f(y) = f(x) 與 f(y) = - f(x) 需刪除 . 因為y代入的負值不一定要與x代入的正值相同 .只要所有的正值與所有的負值能相消即可.

2006-03-26 01:59:37 補充：
∫(1~0) f(x)dx=0 (表示函數從x=0到x=1的部份面積為0)面積為0有兩種情形 , 第一 : 函數正的值總和負的值總和恰好相等 , 所以積分值為0 .第二 : 函數就是x軸 , 所以積分值為0 .今天題目要證明 f(x)=0 for all x屬於[0,1] , 也就是要證明是第二種情形不是第一種 .所以把第一種情況剔除就只剩第二種情況 .

2006-03-26 01:59:53 補充：
但是題目一開始就假設 f(x)≧0 , 所以很清楚 , 不可能有負的值存在來抵消正的值使得積分為0 , 所以只有一種可能 , 就是函數本身在x=0到x=1的範圍內就是x軸 , 所以f(x)= 0 for all x屬於[0,1] .

2006-03-26 13:14:11 補充：
是阿~我只是寫出我的回答!
還請各位高手寫出正解!^^