1+2+3+....+n=k平方,則n有何條件?

Question

1+2+3+....+n=k平方,n,k皆為正整數,則n有何條件?
且n小於100的解有多少個?

Answer 1

1+2+3+....+n=k2,n,k皆為正整數,則n有何條件?必要條件(非充分條件)：n為奇數完全平方數或n+1為奇數完全平方數。n小於100的解有多少個？n=1,8,49共三個以下是算法：1+2+3+....+n=n(n+1)/2若n為偶數，令n=2a，則n(n+1)/2=2a(2a+1)/2=a(2a+1)為一完全平方數根據輾轉相除法原理，得知a與(2a+1)互質，因此a和(2a+1)必定都是完全平方數。(不然相乘不會是完全平方數)2a+1為完全平方數→n+1為完全平方數→n+1為奇數完全平方數(因為n為偶數)------若n為奇數，令n=2a+1，則n(n+1)/2=(2a+1)(2a+2)/2=(2a+1)(a+1)為一完全平方數根據輾轉相除法原理，得知(2a+1)與(a+1)互質，因此(2a+1)和(a+1)必定都是完全平方數。(不然相乘不會是完全平方數)2a+1為完全平方數→n為完全平方數→n為奇數完全平方數(因為n為奇數)