從經典的幾何圖形詭辯聯想出的費式數列證明(15點)

Question

這個圖形大家都很熟悉吧！若我沒算錯，cos∠ABC=-√(2116/2117)，非常接近-1，所以∠ABC非常接近一個平角，才造成這個有趣的圖形。事實上，關鍵的深綠色三角形和紅色三角形兩股長分別是2,5,3,8，剛好是費式數列連續四項，書上說這是故意安排的，因為2116=2117-1，這不是巧合。現在，請聰明的各位證明這件事吧！費式數列的第k項以F(k)表示，證明：[F(n)F(n+1)+F(n+2)F(n+3)]2=[F(n)2+F(n+2)2][F(n+1)2+F(n+3)2]-1亦即若a,b,c,d是費式數列連續四項，證明(ab+cd)2=(a2+c2)(b2+d2)-1

看不到圖的話，請看這裡http://photo.pchome.com.tw/_manage/my_pic.html?s=s06&n=cloudyma&b=2&p=114302759522
再看不到，我再想辦法。

Answer 1

其實只要有 d'Ocagne's Identity 就可以証出來了但是似乎用了牛刀所以還是用雞刀來殺雞就好了先推導一下原式(ab+cd)2=(a2+c2)(b2+d2)-1a2b2+2abcd+c2d2=a2b2+b2c2+a2d2+c2d2-12abcd=b2c2+a2d2-1
b2c2+a2d2-2abcd=1(ad-bc)2=1所以我們只要証明 [F(n)F(n+3)-F(n+1)F(n+2)]2=1但是其實 F(n)F(n+3)-F(n+1)F(n+2) = (-1)n+1這式子相信也不少人看過那就乾脆來証這個好了當然是用最簡單的數學歸納法n=1時F(1)F(4)-F(2)F(3)=1*3-1*2=1=(-1)1+1原式成立設 n=k時 原式成立 也就是F(k)F(k+3)-F(k+1)F(k+2) = (-1)k+1則 n=k+1時F(k+1)F(k+4)-F(k+2)F(k+3)=F(k+1)[F(k+2)+F(k+3)]-F(k+2)F(k+3)=F(k+1)F(k+2)+F(k+1)F(k+3)-F(k+2)F(k+3)=F(k+1)F(k+2)-[F(k+2)F(k+3)-F(k+1)F(k+3)]=F(k+1)F(k+2)-[F(k+2)-F(k+1)]F(k+3)=F(k+1)F(k+2)-F(k)F(k+3)=(-1)[F(k)F(k+3)-F(k+1)F(k+2)]=(-1)(-1)k+1=(-1)k+2原式亦成立得証

Answer 2

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Answer 3

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