「由1開始的正整數依次寫下去一直寫到n」的證明(10點)

Question

令m為「由1開始的正整數依次寫下去一直寫到n」所形成的整數。例如n=5，則m=12345；n=11，則m=1234567891011；n=14，則m=1234567891011121314若n≡k(mod 9)，證明2m≡k2+k(mod 9)

Answer 1

一個數除以9的餘數=數字和除以9的餘數1+0≡10 (mod 9) , 1+1≡11 (mod 9)...若 n≡k (mod 9)m≡1+2+3+...+n (mod 9)≡(1/2)*n*(n+1) (mod 9)≡(1/2)*(k2+k) (mod 9)so 2m≡k2+k (mod 9)

2006-03-22 09:09:42 補充：
若n為一個自然數的十進位表示法令F(n)表示他的各位數字和F(m)=F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n)andF(r)≡r (mod 9)m≡F(m) (mod 9)≡F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n) (mod 9)≡1+2+3+...+n (mod 9)

2006-03-22 17:04:21 補充：
F(m)=F(1)+F(2)+F(3)+...+F(n) (mod 9)

Answer 2

先掛號 明天再解

2006-03-22 13:40:58 補充：
命題1:取某個i+1位數正整數 n 則「由1開始的正整數依次寫下去一直寫到n」所形成的正整數 m必可表示成 a0 + a1*1010 + a2*1020 + .......+ ai*1010i且其中 a0 a1 a2 .... ai-1 都是 9 的倍數~命題2:若m =a0 + a1*1010 + a2*1020 + .......+ ai*1010i 則m = ai mod 9命題3:若且唯若 n 是第 s 個i+1位數 則 n = s mod 9  且 ai = (1010i)+[0+1+2+3+......+(s-1)] 命題4:若 n 是 是第 s 個i+1位數 則ai = 1 + 2 + 3 +........ + s mod 9 即 2ai = s*(s+1) mod 9命題5:若 n≡k mod 9 則必存在 y 滿足 n 是第 9y+k 個 i+1 位數  由以上命題 可知 2m = 2ai = (9y+k)*(9y+k+1) mod 9即 2m = k(k+1) mod 9  故得證~~

Answer 3

老王：
你會不會忽略什麼了？
m的各位數總和並不是1+2+3+...n唷！
比方1234567891011的各位數字和是1+2+3+...+9+1+0+1+1=48，並不是1+2+3+...+11=66唷！
也許你沒忽略，但是你跳太快了，因為，當n≧10時，顯然m的各位數字和不等於(1+2+3+...+n)
所以你用「一個數除以9的餘數=數字和除以9的餘數」是不足以證明的。
的確m≡1+2+3+...+n(mod 9)，可是，為什麼？

2006-03-21 21:58:34 補充：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306032008237
我從這題得到啟發的，請看它的回答和意見。

2006-03-21 22:40:50 補充：
啊！我懂你為什麼寫
1+0≡10 (mod 9) , 1+1≡11 (mod 9)...了(不小心把刪節號忽略了)，可是這樣還是跳太快，不明白的人會以為你只是在說10除以9的餘數等於10的數字和除以9的餘數，而m的數字和還是不等於(1+2+3...+n)呀！
能不能寫慢一點？

Answer 4

用MI証, 好煩所以唔想做