初等微積分證明一題,高手請進

Question

令f(x)是在R上的可微分函數,設 0<=f\'(x)<=f(x),對於所有x屬於R恆成立,假設存在y屬於R使得f(y)=0,試證f(x)=0,對於所有x屬於R恆成立.

我的問題是說:y*=sup{y|f(y)=0},為何可以這樣假設

不好意思,我想再問一個小問題:你是一看到題目就知道怎麼解,還是之前有解過同樣的題目

Answer 1

由於存在y屬於R使得f(y)=0,故可設 y*= sup{y | f(y)=0}
又由於 0<=f'(x),故f(x)為非遞減函數,即若x1 並有 若f(y)=0,則對所有 x<=y 皆有 f(x)=0 [由於 0<= f(x) <= f(y)=0 ]
因此若y*=無窮大,則證明完畢

今假設 y*<無窮大, 亦即 y* 屬於R使得f(y*)=0
故由中間值定理知 f(y*+1/2)-f(y*)= f'(c)(y*+1/2-y*),其中 y*< c < y*+1/2
f(c) <= f(y*+1/2)= f'(c) * 1/2 <= f(c) * 1/2
若f(c )不等於0 則 1<= 1/2 ,不可能
故 f(c)=0,但y* 故y*=無窮大
Q.E.D.

2006-03-18 17:44:13 補充：
喔!我是要證明它沒有上界的利用反證法,假設 y*<無窮大,得到矛盾故y*=無窮大

2006-03-19 08:37:04 補充：
sup的定義沒那麼絶對,沒有bounded above 時,可定義sup為無窮大,如果你堅持集合{y|f(y)=0}要有bounded above 才有sup的話,也不影響這個證明,你只需將敘述方式稍微修改一下,利用反證法,先假設集合{y|f(y)=0}是bounded above,同樣由中間值定理得到矛盾,故得證.

2006-03-19 10:36:28 補充：
老王的意見是錯誤的(最初我在解答時已想到了)
我們只知道可向右推一個大於0且小於1/2的步伐,無窮個大於0的和,極可能只是個有限的實數

2006-03-20 11:44:26 補充：
老王,拜託弄清楚中間值定理
有沒有等號根本不重要
重要的是"反覆此步驟"每次向右推的步伐未必是固定的,我們只知道在某個範圍之中,所以你怎麼能說每個步驟都是向右移1/2 ?

2006-03-21 08:07:49 補充：
老王,謝謝你指正譯名,mean value theorem應譯為均值定理,但我不同意你的第2點,從均值定理只能知道向右推大約0到1/2的步伐,真正是多少,從該定理並不能得知,你可能在第一次只往又推1/4,第n次往右堆(1/4)^n,...,即使反覆無限多次後,總共只右推了1/3,根本不超過1/2.

2006-03-21 08:14:47 補充：
將中間值定理改為均值定理(mean value theorem)

2006-03-22 07:59:42 補充：
從未見過此題，我解這題的思考過程如下：
1.先考慮要證明f為常數函數，又因為有f(y)=0，故證明完畢。但試了一下，就改弦易轍了。不過也到了想利用mean value theorem。
2.接著，利用mean value theorem，這樣可讓=0的範圍向右移，但遇到老王之前意見中的問題，故繼續思考如何解決。
3.最後，想到利用反證法，故建構一個y*來證明。

Answer 2

讀竹大嗎??

Answer 3

豪哥先生:
問個題外話
您不是兩千五百多點了嗎
為何還是初學者五級??

Answer 4

0小於等於f*(x)小於等於f(x),"*"表示f的一階偏導數

2006-03-17 19:56:44 補充：
請問"gclin",{y|f(y)=0}是非空集合我知道,但你如何得知它是有上界的?

2006-03-17 23:04:38 補充：
who knows?

2006-03-19 08:18:15 補充：
集合{y|f(y)=0}要有bounded above 才有sup,不是嗎?

Answer 5

0<=f'(x)<=f(x),看不懂...題目有抄錯嗎

2006-03-19 05:30:44 補充：
回答豪哥的問題(不知說的對不對)
因為存在y...所以y可能有很多個
所以在很多個y中取其中最大的那幾個即y*= sup{y | f(y)=0}