若數列為收斂數列，求x範圍，遇到困難請幫忙?

Question

若數列為收斂，求X範圍?我的想法是既然為收斂，所以分母分子都是收斂，而且分母應該要比分子大，或分數等於1但是我只算出 X≦1/3    解答是1/5 < X ≦1/3 請各位幫幫忙，寫一次正確的解題方法

Answer 1

< (4x-1/ x) ^n >
收斂數列的條件 是 0 < (4x-1/ x) ≦1( 負的話 , 本身不符定義 , 正負跳來跳去就沒有收斂了)
先 4 x - 1 / x < 1 → x < 4x - 1 → 3x≦ 1 所以 x ≦ 1 / 3
再 4 x - 1 / x > 0 → 4 x - 1 > -x( 移項 )→ x > 1 / 5
所以範圍就是 1/5 < X ≦1/3

2006-03-18 02:28:27 補充：
修正錯誤其實-1 < (4x-1/ x) ≦1 因為 -1 本身的話就不會使「其值」更小 。但是小於 -1的負數公比會使極限值為０所以4 x - 1 / x > -1 所以移項成為4x - 1> -x 所以 5x > 1 → x > 1 / 5所以正確答案 1/5 < X ≦1/3

Answer 2

這是個等比數列嘛！沒有想像中困難。(4x-1)/x=4-(1/x)-1＜公比≦1(註)-1＜4-(1/x)≦1-5＜-(1/x)≦-35＞1/x≧31/5＜x≦1/3註：為什麼公比不能等於-1呢？因為公比若為-1，則數列為-1,1,-1,1,-1....，在-1和1之間跳動，並沒有收斂到同一個數。

2006-03-17 00:54:20 補充：
我想-1＜(4x-1)/x≦1才對吧！
誰說公比不能是負的？誰說正負跳來跳去必然不收斂？
1,-1/2,1/4,-1/8,1/16,-1/32,1/64,-1/128,1/256....不是收斂於0嗎？
正負跳來跳去，但是正負都越跳越接近0
公比不能小於等於-1倒是真的。

Answer 3

此數列尚需 > -1 , >-1則收斂於0 , 若<-1,則發散,(因正負正負......)