關於組合數---偶數項和=奇數項和的證明(15點)

Question

承這一題http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306031400793令C(n,m)代表從n個相異物品中取出m個的組合數。證明當n為偶數時，C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)...+C(n,n)=C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)...+C(n,n-1)當n為奇數時，C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)...+C(n,n-1)=C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)...+C(n,n)但不要用「二項式定理(x+y)n=......，令x=1，y=-1代入」這個方法。

Answer 1

我目前只想到用C(n,m)=C(n-1,m-1)+C(n-1,m)硬算的方法
當n為偶數時，左式=C(n,0)+C(n,2)+C(n,4)...+C(n,n)=C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+C(n-1,3)+C(n-1,4)+...+C(n-1,n-1) [其中頭尾是用C(n,0)=C(n-1,0),C(n,n)=C(n-1,n-1)]
右式=C(n,1)+C(n,3)+C(n,5)...+C(n,n-1)=C(n-1,0)+C(n-1,1)+C(n-1,2)+C(n-1,3)+C(n-1,4)+C(n-1,5)+...+C(n-1,n-1)+C(n-1,n-1)
左=右 故成立
同理,當n為奇數時，亦成立

Answer 2

如果能夠用已知的：ΣC(n,m)=2^n(其中m=0~n)，加上C(n,m)=C(n-1,m)+C(n-1,m-1)這兩個前題的話。
那麼，很容易証出ΣC(n,2t+1)=2^(n-1)，(其中t=0~[n/2])。
這樣的方法可行嗎？

2006-03-15 11:02:04 補充：
哈，撰文的時候，已有人po上解法了 ^.^~