關於組合數的兩個性質的證明(巴斯卡三角形上的斜線)(10點)

Question

令C(a,b)代表從a個相異物品中取出b個的組合數。(1)證明C(n,n)+C(n+1,n)+C(n+2,n)+C(n+3,n)+.....+C(m,n)=C(m+1,n+1)例如C(2,2)+C(3,2)+C(4,2)+C(5,2)=C(6,3)(2)證明C(n,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+C(n+3,3)+.....+C(m,m-n)=C(m+1,m-n)例如C(3,0)+C(4,1)+C(5,2)+C(6,3)=C(7,3)這兩題等號左邊的各項在巴斯卡三角形上正好分別構成一條「右上-左下」和「左上-右下」的斜線。

Answer 1

by pascal's rule,(1)C(n,n)+C(n+1,n)+C(n+2,n)+C(n+3,n)+.....+C(m,n)=C(n+1,n+1)+C(n+1,n)+C(n+2,n)+C(n+3,n)+.....+C(m,n)=C(n+2,n+1)+C(n+2,n)+C(n+3,n)+.....+C(m,n)=C(n+3,n+1)+C(n+3,n)+.....+C(m,n)=C(n+4,n+1)+.....+C(m,n)=...=C(m+1,n+1)(2)C(n,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+C(n+3,3)+.....+C(m,m-n)=C(n+1,0)+C(n+1,1)+C(n+2,2)+C(n+3,3)+.....+C(m,m-n)=C(n+2,1)+C(n+2,2)+C(n+3,3)+.....+C(m,m-n)=C(n+3,2)+C(n+3,3)+.....+C(m,m-n)=C(n+4,3)+.....+C(m,m-n)=...=C(m+1,m-n)