設多項式f(x)除以x－1,x2－2x＋3之餘式依次為2..

Question

設多項式f(x)除以x－1,x2－2x＋3之餘式依次為2,4x＋6,則f(x)除以(x－1)(x2－2x＋3)的餘式為?

Answer 1

提供兩種方法：

1.方法一：直接假設法( 比較複雜)
假設f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)*q(x)+ax^2+bx+c .....餘式為ax^2+bx+c
因為(x-1)除f(x)餘式為2，故f(1)=2 => a+b+c=2 ......(1)
因為(x^2-2x+3)除f(x)餘式為4x+6，且f(x)除以x^2-2x+3之餘式就是
ax^2+bx+c除以x^2-2x+3，利用長除法，餘式為(b+2a)x+(c-3a)=4x+6
所以b+2a=4.....(2) c-3a=6.........(3)
解(1)(2)(3)得a=-4，b=12，c=-6，所求餘式=-4x^2+12x-6

2.方法二：階梯式的餘式假設法(簡單多了)
因為x^2-2x+3除f(x)的餘式為 4x+6
可假設 f(x)=(x-1)(x^2-2x+3)*q(x)+k(x^2-2x+3)+(4x+6) .....餘式=k(x^2-2x+3)+(4x+6)
又x-1除f(x)餘式為2，所以f(1)=2 => k(1-2+3)+(4+6)=2 => k=-4 代回上式
所求餘式=-4(x^2-2x+3)+(4x+6)=-4x^2+12x-6

Answer 2

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1306031111082
幫忙解一下 謝謝

Answer 3

用中國剩餘定理不知可不可以算令特解k(x)=g(x)(x2－2x＋3)+4x+6則k(x)≡g(x)(x2－2x＋3)+4x+6≡2(mod x-1)2*g(x)+10≡2(mod x-1)2*g(x)≡-8(mod x-1)取g(x)=-4k(x)=(-4)(x2－2x＋3)+4x+6=-4x2+12x-6因為x－1和x2－2x＋3無公因式，最低公倍式為(x－1)(x2－2x＋3)因此f(x)=(-4x2+12x-6)+(x－1)(x2－2x＋3)*h(x)f(x)≡-4x2+12x-6(mod (x－1)(x2－2x＋3))餘式恆為-4x2+12x-6