三角函數的一些問題?

Question

1.利用等腰三角形 36-36-72度，求sin18度
2.設一圓之半徑為 r，求(1)其外切正 n 邊形之邊長為______。(2)其內接正 n 邊形 之邊長為______。
3.設 0‹X‹45度，若 tan x + cot x = 25/12，則(1)sin x +cos x=______(2)sin x- cos x=______
4.若2+√3為 X^2-(tanθ+cotθ)x+1=0之一根，則sinθcosθ=________?
5.已知X為銳角，sin x- cos x =1/2，則 tan x - cot x =________。sinθ=________
6.已知sinθ,cosθ為方程式 2x^2-(√3+1)x+a=0的二根，則a=__________。
7.試證：(tan^2 θ- sin^2 θ )(cot^2 θ- cos^2θ)= cos^2θsin^2θ。
8.試證：((cosθ)/(1-tanθ))+((sinθ)/(1-cotθ))=cosθ+sinθ。
9.試證：(1+ csc x-cot x)/(1- csc x+ cot x)=(csc x+ cot x+1)/(csc x+ cot x -1)
10.試證：(1- sec x+ tan x)/(1+ sec x + tan x )=(sec x + tan x -1)/(sec x+ tan x -1 )
以上各個問題，請各位數學高手解答解答，並寫下算法，最好是留有即時通，方便在下有問題時好討救兵(沒有留也沒關係)，若回答得好的話，在下會另開題目再給予點數，以玆感謝，謝謝。

第三題0‹X‹45度，此符號'' ‹'' 是小於，謝謝

1.利用等腰三角形 36-72-72度，求sin18度
對不起，打錯了。

Answer 1

1.)題目怪怪的

2.)正n邊形, 對一邊的圓心角 = 2π/n, 圓心角之半 = π/n
外切正n邊形 : 半邊長 /r = tan(π/n) => 邊長 = 2r tan(π/n)
內接正n邊形 : 半邊長 /r = sin(π/n) => 邊長 = 2r sin(π/n)

3.) tan x + cot x = 25/12
=> (sin x)^2 + (cos x)^2 = 25 sin x cosx /12
=> sin x cos x = 12/25
sin x + cos x = √(sin x + cos x)^2 = √(1+ 2 sin x cos x) = √(49/25) = 7/5
sin x - cos x = √(sin x - cos x)^2 = √(1- 2 sin x cos x) = √(1/25) = 1/5

4.)2+√3為 X^2-(tanθ+cotθ)x+1=0之一根
另一根 = 1/2+√3 = 2-√3
=> tanθ+cotθ= 2+√3 + 2-√3 = 4
=> (sin θ)^2 + (cos θ)^2 = 4 sin θ cos θ
=> sin θcos θ = 1/4

6.) 2x^2-(√3+1)x+a=0
=> x^2-[(√3+1)/2]x+a/2=0 --- (1)
(x - sinθ)(x-cosθ) = 0
=> x^2 - (sinθ + cosθ)x + sinθcosθ = 0 --- (2)
比較(1)(2)
=> sinθ+ cosθ = (√3+1)/2
=> 1 + 2 sinθcosθ = (√3+1)/2
=> a/2 = sinθcosθ = (√3-1)/4
=> a = (√3-1)/2

剩下有空再寫

2006-02-19 21:15:47 補充：
7.)：(tan^2 θ- sin^2 θ )(cot^2 θ- cos^2θ)= cos^2θsin^2θtan^2θ- sin^2θ= sin^2θ(1/cos^2θ - 1)= sin^2θ(1- cos^2θ)/cos^2θ= sin^4θ/cos^2θ--- (1)cot^2 θ- cos^2θ= cos^2θ(1/sin2θ - 1)= cos^2θ(1- sin^2θ)/sin^2θ= cos^4θ/sin^2θ--- (2)(1)*(2)即得(tan^2θ- sin^2θ )(cot^2θ- cos^2θ)= cos^2θsin^2θ

2006-02-19 23:27:48 補充：
字數超過第9題放在意見裡

2006-02-19 23:36:14 補充：
奇摩還是說我字數太多我沒輒了

2006-02-19 23:44:41 補充：
9.)x省略
(1+csc-cot)/(1-csc+cot) 上下同乘 sin
= (sin+1-cos)/(sin+cos-1)
= (sin+1-cos)(sin+cos+1)/(sin+cos-1)(sin+cos+1)
= (sin^2+2sin+1-2cos^2)/(2sin cos)
= 2sin(sin+1)/(2sin cos)
= (sin+1)/cos 上下同乘 2(cos+1)

2006-02-19 23:46:17 補充：
續
= (2+2sin+2cos+2sin cos)/2 cos(1+cos)
= (sin^2+cos^2+2sin+2cos+2sin cos+1)/(2cos^2+2cos)
= (sin+cos+1)^2/[(cos+1)^2-sin^2]
= (sin+cos+1)/(cos+1- sin) 上下同乘 csc
= (1+cot+csc)/(cot+csc-1) #

Answer 2

第一題題目錯了...
是72-72-36度球sin18度
這題我救你
令三角形ABC其中角A為36度
過B點作分角線....交AC於D...由國中AA相似可以知道三角形ABC相似於三角形BCD...不妨設AB線段=1=BC段(我用段來只線段以下同...)
令BC段=x...因為BD段為分角線....角DBC=36度....BC段=BD段=x
又角A=角ABD...所以AD段=BD段=x.....則CD段=1-x..把線段帶入相似三角型中
AB段:BC段=BC段:CD段
1:x=x:1-x....x=(-1+根號5)/2
再過A點做垂直線交BC段於E
由三角形ABE中
AB段=1....BE段=(-1+根號5)/4------->角BAE=18度.....故sin18=BE段/AB段=(-1+根號5)/4.............

2006-02-23 08:19:17 補充：
哈~~~~這種題目除非天才...不然就是老師教過啦....我當然是屬於後者
不過因為摸國中高中數學摸的快爛了
差不多記得啦...
ps尺規做圖正五邊型就是利用這個做出來的...
當然更難的...有興趣自己找
如何做出正十七邊形^^...哈

Answer 3

☆1☆(我不知道連邊長和sin36度，sin72度都不知道要怎麼做，我猜是這樣做。)
假設三角形邊長已知，
72度對邊為x，36度對邊為y，
36-72-72的三角形，在36度的對邊畫一中垂線(垂直)，
也是分角線(由左右兩個三角形全等)。
由左右其中一個三角形就可以得到sin18度=0.5y/x

☆2☆[上面有答案了。]
正n邊形圓心角2π/n
【思路：
外切正n邊形，圓心到邊的垂線=半徑
內切正n邊形，圓心到點的距離=半徑
找三角形求解。】

☆3☆
(此題不建議使用此方法，建議使用上一個人回答的方法，我只是想用別的解法。)
原式→tan x＋1／tan x=２５／１２
同乘tan x再整理成一元二次方程式
12(tan x)^2＋25tan x＋12＝０
可得tan x＝３／４（因為角度為０～４５度故大於１的另外一解不合）
畫出輔助三角形，可得sin x=４／５，cos x＝３／５
ans：７／５，１／５

☆４☆(與上一個人回答的解法大同小異)
將tanθ＋cotθ通分後為１／sinθcosθ
二元一次方程式：ax^2+bx+c=0
【觀念：根的積=c/a；根的和b/(-a)】
[１／（２＋√３）]＋２＋√３＝４（根的和）
＝1／sinθcosθ
故Ans：１／４

☆５☆
sin x-1/2=cos x
(sin)^2-sin+1/4=1-(sin)^2
2(sin)^2-sin-3/4=0
sin=(1+√7)/4，(1-√7)/4(不合)
【sin都算出來了，等下要拿來用。】

tan x - cot x
=sin/cos - cos/sin
=sin/(sin-0.5) - (sin-0.5)/sin 『因為sin - cos=1/2』
=(1+√7)/(-1+√7) - (-1+√7)/(1+√7) 『分母分子同乘4』
=[(1+√7)^2 - (-1+√7)^2]/6
=2√7 / 3
Ans：tan x - cot x=2√7 / 3 ，sin=(1+√7)/4

☆6☆
[上面已有很好的解法，且與第4題類似，我就不解了。]
【觀念：根的積=c/a；根的和b/(-a)】
可用此觀列出兩式，與上面解法其實一樣。

☆7☆
[建議用此方法，上面的解法太繁雜。]
【思路：tan= sin/cos，tan cot =1，故右邊乘左邊分母會不見。cot亦同】
左式=(tan^2 θ- sin^2 θ )(cot^2 θ- cos^2θ)
= tan^2 cot^2 - tan^2 cos^2 - sin^2 cot^2 + sin^2 cos^2
=1 - sin^2 - cos^2 + sin^2 cos^2
= sin^2 cos^2

☆8☆
[因為上面已有很好的解法，我不打算解這一題。]
((cosθ)/(1-tanθ))+((sinθ)/(1-cotθ))=cosθ+sinθ
【思路：tan=sin/cos，cot=cos/sin，帶入後發現其整理極為方便。】

☆９☆(建議使用此方法，很正規的解法。)
(1+ csc x-cot x)/(1- csc x+ cot x)=(csc x+ cot x+1)/(csc x+ cot x -1)
同乘兩者分母(1- csc x+ cot x)(csc x+ cot x -1)
【思路：整理成(1+x)(1-x)的型式】
[csc x+(1-cot x)][csc x-(1-cot x)]=[(1+cot x)+csc x][(1+cot x)-csc x]
(csc x)^2-(1-cot x)^2=(1+cot x)^2-csc x
【思路：1^2+(cot x)^2=(csc x)^2，故將(1+cot x)^2和(1-cot x)^2展開】
2cot x=2cot x
即得證

☆10☆(類第九題)
(1- sec x+ tan x)/(1+ sec x + tan x )=(sec x + tan x -1)/(sec x+ tan x -1 )
因為跟第九題完全一樣的做法，
我只寫要用到的技巧。
【同乘分母，然後將型式變為(1+x)(1-x)】
【(tanx)^2+1^2=sec^2】

我沒有即時通
msn：[e-mail]
沒事的話可以幫你解個幾題，不過最近應該常常不在。

2006-02-20 15:02:09 補充：
第七題最後面要寫"=右式，即得證"第九題最後面要寫"故等式成立，即得證"

2006-02-23 00:17:00 補充：
終於有第一題了！(原來是這樣算啊！恍然大悟)
對不起，我離開做圖問題太久了。

Answer 4

小弟補充第八題
((cosθ)/(1-tanθ))+((sinθ)/(1-cotθ))
=(cos^2/cos-sin)+(sin^2/sin-cos)
=(cos^2/cos-sin)-(sin^2/cos-sin)
=cos^2-sin^2/cos-sin
=(cos+sin)(cos-sin)/cos-sin
=cos+sin