隨意寫寫數字時發現 ─ 連續三個整數相乘一定是3的倍數

Question

我今天隨意寫寫數字的時候發現，連續三個整數必定是3的倍數。如何證明呢？

Answer 1

如果是連續的整數相乘會有3為其因數
1*2*3=1*2*3---因數為2.3---所以可以是3的倍數(1為質數)
2*3*4=2的3次方*3---因數為2.3
3*4*5=2的2次方*3*5---因數為2.3.5
4*5*6=2的3次方*3*5---因數為2.3.5
5*6*7=2*3*5*7---因數為2.3.5.7
6*7*8=2的4次方*3*7---因數為2.3.7
7*8*9=2的3次方*3的2次方*7---因數為2.3.7
以上都有3的因數
所以連續3整數相乘會為3的倍數

Answer 2

TO: ☆ξ尬德神力∞ξ☆
妳的反證法是錯的喔!!

Answer 3

一般來說，連續N個整數相乘會是N!的倍數
不失一般性，可以假設連續N個整數皆是正整數
可以用組合方法證明
C(k+N,N)=(k+N)!/(k!N!)=[(k+1)(k+2)...(k+N)]/[N!]為整數
故(N!)|(k+1)(k+2)...(k+N)

Answer 4

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1305090617534
連續n個正整數乘積必為n！的倍數
因此，連續3個正整數乘積必為3！(=6)的倍數，當然也是3的倍數。

Answer 5

因為連續三個整數當中，一定有一個是三的倍數
所以這三個數相乘後還是三的倍數

Answer 6

第一個整數設成K-1 第二個就是K 第三個就是K+1

然後乘起來 變成K(K平方-1)

K平方-1帶不是三的倍數的整數進去結果都會是三的倍數~
K如果等於三個倍數~ 那前面的K就會讓整個數變成三的倍數
除此之外K不能等於0跟1or-1唷 不然結果都會是0......

2006-02-18 22:26:01 補充：
使用反證法也行~K(K平方-1)設不會是三的倍數，隨便帶個數字進去當然不等於0或正負1，會發現它必是三的倍數，這樣跟假設矛盾 所以得證~K(K平方-1)必定為三的倍數~

Answer 7

令3連續整數為n,n+1,n+2
r為n除3的餘數，則r可能的值為0,1,2
一、若r=0，則n為3的倍數
二、若r=1，則n+2為3的倍數
三、若r=2，則n+1為3的倍數
所以3連續整數中必“有＂3的倍數。

2006-02-18 22:12:04 補充：
這種寫法才叫作“證明＂。

2006-02-27 12:03:01 補充：
題目到底是問
“連續三個整數必定有3的倍數＂
，還是
“連續三個整數的乘積必定是3的倍數＂？
現在已經有兩種解釋了。

2006-02-27 12:04:45 補充：
因為連續三個整數中必有3的倍數，所以連續三個整數的乘積必為3的倍數。

Answer 8

因為連續三個數字都一定有一個數是3的倍數,所以當然是3的倍數拉
圖示:

{12[3]}45[6]78[9] [ ]中是三的倍數
1{2[3]4}5[6]78[9]
12{[3]45}[6]78[9] { }中是選的數
12[3]{45[6]}78[9]

Answer 9

你看

1*2*3 =3(1*2)
2*3*4 =3(2*4)
8*9*10 =9(10*8) =(3*3)(10*8) =3(3*8*10)
11*12*13=12(11*13) =(3*4)(11*13) =3(4*11*13)


懂了嗎??連續三個數裡面一定有一個3的倍數 所以三的倍數在乘其他數依舊是三的倍數

Answer 10

因為連續三個整數中一定有一個是三的倍數　
所以三個連續整數的乘積一定是三的倍數