數學證明題

Question

a,b,c為三角形三邊
a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
則 a「必」= b= c 嗎？？
試證之

Answer 1

因為 a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
展開後得 a^2 -ab + b^2 - bc + c^2 - ac = 0
同乘 2
2a^2 - 2ab + 2b^2 - 2bc + 2c^2 - 2ac = 0
(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) + (c^2 - 2ac + a^2) = 0
(a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0

因 (a-b)^2 ≧ 0, (b-c)^2 ≧ 0, (c-a)^2 ≧ 0
又 (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 = 0
可得
a-b=0, b-c=0, c-a=0
故 a=b, b=c, c=a
即 a=b=c
得證

註：想辦法弄成兩數相減的平方即可

2006-02-18 17:15:21 補充：
^2 表示平方(二次方)

Answer 2

因為a,b,c為三角形三邊
令a>=b>=c
且b+c>a

你高興要怎麼大都行
反正先設出來再看題目
(偶而會需要討論 先免去討論的麻煩)
題目:
a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0

a(大於等於零)+b(大於等於零)+c(小於等於零)=0
=>看不出來

重新展開:
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac=0
看起來像完全平方式
配配看
(心中想起似乎有類似的東西出現過)
2(a^2)+2(b^2)+2(c^2)-2ab-2bc-2ac=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0

哇 剛好
好吧 既然乘了一個2就能變成這樣
那就沒辦法了
三個大於等於零的數+起來會是零
也只有零本身了

2006-02-18 17:42:41 補充：
他們是說:
a,b,c>0

Answer 3

大家似乎忽略了a(a-b)和b(b-c)和c(c-a)這三個東西必然有一個會是負的。並非三個都大於等於0。
事情，並沒有，大家想得那麼簡單。

Answer 4

假定 b = c
那麼 a^2 - ab + c^2 - ac = 0
整理後可得 a^2 - 2ac + c^2 = 0
此時 (a - c)^2 = 0 那麼 a 不能不等於 c

假定 b = c + t
a^2 - a*(c + t) + (c + t)*t + c^2 - ac = 0
整理後
a^2 - 2ac + c^2 - (a - c)*t + t^2 = 0
(a - c)^2 + (t - 0.5a + 0.5c)^2 = 0.25(a - c)^2
移項後
0.75(a - c)^2 + (t - 0.5a + 0.5c)^2 = 0 顯然 a必須等於c 且t必須等於 0.5(a- c)
因此 所以 b = c - 0.5c + 0.5a 又 a = c 所以 b還是等於 c = a

令 c = 1
那麼 a^2 - ab + b^2 - b + 1 - a = 0
整理後得到
(a + b)^2 + 1 = (a + b) + 3ab
令 a = xb 則
[(1+x)^2]*b^2 + 1 = (1+ x)*b + 3x*(b^2)
(1 - x + x^2)*b^2 - (1+ x)*b + 1 = 0
令D = (1+x)^2 - 4(1 - x + x^2)
則
D = 1 + 2x + x^2 - 4 + 4x - 4x^2
= - 3x^2 + 6x - 3
由 2 階導函數可知 判別式為 x 的增函數 且最大值為 x=1時的 0
那麼 方程式 (1 - x + x^2)*b^2 - (1+ x)*b + 1 = 0 只有在x = 1 時 b才有實根
那麼 x = 1 時 b的正實根為 1 剛好 c也等於 1

所以 a 必等於 b 必等於 c 沒得商量

Answer 5

a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
設a為某數，某數*(a-b)=0因為a(a-b)=0b(b-c)=0c(c-a)=0，所以a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
某數*(a-b)=0，因為任何數*0才等於0，所以a-b=0
某數*(b-c)=0，因為任何數*0才等於0，所以b-c=0
某數*(c-a)=0，因為任何數*0才等於0，所以c-a=0
所以 a必= b= c

Answer 6

a, b, c皆>0，三角形兩邊之和大於第三邊，所以a+b>c，a+c>b，b+c>a
推得：b>c-a，a>b-c，c>a-b且a,b,c>0
a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
因此a-b=0,b-c=0,c-a=0
所以a=b=c
此為一正三角形

Answer 7

a(a-b)+b(b-c)+c(c-a)=0
則a(a-b)=0且b(b-c)=0且c(c-a)=0
→a-b=0 or a=0(不合)
　b-c=0 or b=0(不合)
　c-a=0 or c=0(不合)
上面三式的關係是"且"喔
所以a=b且b=c且c=a
→a=b=c得證

Answer 8

因為 a,b,c為三角形三邊
所以 a > 0 ; b > 0 ; c > 0 ---- (1.)
又 a(a-b) + b(b-c) + c(c-a) = 0 且 (1.)
可知 a(a-b) = 0 = b(b-c) = c(c-a)
故 a-b = b-c = c-a = 0
a = b = c QED