工程數學一問....？？？ 怎麼解題呀???

Question

http://knight.fcu.edu.tw/~d9149426/math.JPG

到底算工數的哪一類別呢???

煩請專家解題囉...

Answer 1

　　這題目不得不承認出題老師出的很好，是屬於 Erwin Kreyszig 所著 Advanced Engineering Mathematics 的第三章：「System of Differential Equations」的第三小節：「Homogeneous System. Phase Plane, Critical Points」與第四小節：「Criteria for Critical Points. Stability」的範圍。　　工程數學就是要考這種題目，才能鑑別出學生的程度，事實上這種型式的計算常見於控制系統，也就是說這真正是屬於工程師所使用的數學計算模式，計算過程與結果本身就含有工程上的意義，當然也包括數學、物理意義。　　「System of Differential Equations」是屬於相當進階的一個單元，大學有開工程數學的課也不一定教的到，可能連教課老師自己都不太會這個單元，我也是到補習班才學到這單元的。　　以下我幫您解題目，我寫出的答案會出現一些專有名詞，要靠您自己去翻課本看看，要不然再解釋那些名詞還有分類我就真的打不完囉！3. For a given system　　　　　　　　　y1' = 5y1 + 3y2 + ƒ1(t)　　　　　　　　　y2' = 8y1 + 3y2 + ƒ2(t)　(a) If ƒ1(t) = ƒ2(t) = 0 ,　　 A. Determine the type and stability of the critical point.　　 B. Find the general solution of the system　(b) If ƒ1 = 2e-t and ƒ2 = 3e-t , find the general solution of such a system.　(c) If ƒ1 = t and ƒ2 = - 9t , find the general solution of such a system.sol：(a) A.　　│5 - λ　3　│= 0　　│　8　3 - λ│　　→ λ2 - 8λ - 9 = 0　　將上面結果與比較式 λ2 - pλ + q 比較得：p = 8、q = - 9　　當 p 為任一值且 q < 0 時，屬於 unstable critical point　　又 q < 0，屬於 unstable critical point 中的 saddle point　　所以本題答案為：unstable saddle point ( 不穩定鞍點 ) #　 B.　　本題為聯立齊次微分方成組，且為連鎖題，以線性代數中的特徵值( eigen-value )與特徵向量( eigen- vector )來解，要用到前一個小題算出來的結果：　　λ2 - 8λ - 9 = 0 → ( λ + 1 )( λ - 9 ) = 0　　→ eigen-value：λ = - 1 , 9　　當 λ = - 1 時：　　→ 6t1 + 3t2 = 0　　　 8t1 + 4t2 = 0　　→ t2 = - 2t1　　令 t1 = α → t2 = - 2α　　→ 當 λ = - 1 時之 eigen-vector：┌　t1　┐= α┌　  1　 ┐　　　　　　　　　　　　　　　  └　t2　┘      └　- 2　┘　　當 λ = 9 時：　　→ - 4t1 + 3t2 = 0　　　 8t1 - 6t2 = 0　　→ 3t2 = 4t1　　令 t1 = β → t2 = 4β／3　　取整數比較好看( 對解答本身無影響 )，t1、t2 同乘 3　　→ t1 = 3β、t2 = 4β　　→ 當 λ = 9 時之 eigen-vector：┌　t1　┐= β┌　3　┐　　　　　　　　　　　　　　　└　t2　┘     └　4　┘　　所以本題聯立齊次微分方程組之解為：　　┌　y1　┐= c1┌　  1　 ┐e-t + c2┌　 3　┐e9t　　└　y2　┘　   └　- 2　┘　        └　 4　┘　#　　下面兩題聯立非齊次微分方程組，可以用線性代數的對角化方式來解，也可以用參數變異法求解，但題目為連鎖帶有提示，運用前一題的結果，所以採用對角化求解較好。　　以下僅寫出答案，要不然真的會打不完，Yahoo！奇摩知識+ 有字數限制，打完恐怕要超過了，抱歉喔！(b)　　┌　y1(t)　┐=┌　  1　 3　┐┌　  c1e-t - te-t／10　 ┐　　└　y2(t)　┘   └　- 2　4　┘└　c2e9t - 7e-t／100　┘#(b)　　y1(t) = c1e-t + 3c2e9t - 8t／3 + 61／27　　y2(t) = c1e-t + 3c2e9t - 37t／9 - 377／81 #１１　　希望以上解答過程能幫助您。

Answer 2

太強了啦～～謝謝

Answer 3

這是屬於聯立微分方程
可以參考一般工數教科書
尤其是在常微分方程單元後所提到的

本題由於是兩個未知函數y1, y2, t為變數
所以解的形式是屬於3維空間
所以會問你解的critical point

另外 當f(t)改變時
解的形式也會改變

很有趣的題目