某數除以4餘2,除以9餘3,除以25於5,請用中國餘數法

Question

某正整數除以4餘2, 除以9餘3, 除以25於5
求最小的正整數

我已經知道答案是30
但不知道用中國餘數法如何求解
其他作法的請不必回答
謝謝

Answer 1

令 特解 x = 25*9*a + 25*4*b + 4*9*c
如今 x 除以 4餘2
所以
25*9*a = 2 mod 4
(4*6+1)*(4*2+1)*a = 2 mod 4 所以 a=2 mod 4 故 a取2

x 除以9餘3
所以
25*4*b = 3 mod 9
100*b = 3 mod 9
(9*11+1)*b = 3 mod 9 所以 b = 3 mod 9 故 b取3

除以25於5
所以
4*9*c = 5 mod 25
36c = 5 mod 25
(7*5+1)*c = 5 mod 25 所以 c = 5 mod 25 故 c取 5

因此 特解 x = 25*9*2 + 25*4*3 + 4*9*5 = 930
通解為 y = x + 900t = 930 + 900t 因此 t取 -1 時 可得最小正整數解 30

Answer 2

國中的餘數法其實是希望學生列表，也就是依照(1)某正整數除以4餘2,(2)某正整數除以9餘3, (3)某正整數除以除以25於5這三個條件列出三個(等差)數列(1) 2  6  10  14  18  22  26  30 .....(2) 3  12  21  30 .....(3) 5  30  55 .....因此答案是30。而這一題比較難的是第二大的數是多少？答案是930

Answer 3

225*2+100*3+36*5
=450+300+180
=930

930-900=30

照樣造句
原句：「三三數之賸二，置一百四十，五五數之賸三，置六十三，七七數之賸二，置三十，并之，得二百三十三，以二百一十減之，即得。凡三三數之賸一，則置七十，五五數之賸一，則置二十一，七七數之賸一，則置十五，即得。」

照題目則是「四四數之賸二，置四百五十，九九數之賸三，置三百，廿五數之賸五，置一百八十，并之，得九百三十，以九百減之，即得。凡四四數之賸一，則置二百二十五，九九數之賸一，則置一百，廿五數之賸一，則置三十六，即得。」

意思是
四個四個數餘二，加450(9*25*2)，
九個九個數餘三，加300(4*25*3)，
二十五個二十五個數餘五，加180(4*9*5)，
加起來(930)再減4*9*25(900，因為是最小公倍數，若差比900多則再減一次)，得30。
不懂的再上網查，或補充，我會再幫你解釋