請教各位數學高手有關代數的問題

Question

n是自然數
f(n)=1×(2n-1)+2×(2n-3)+......+(n-1)×3+n×1則
(1)f(100)-f(99)=_________
(2)f(100)=_________(請寫出正確數值)
請各位數學高手幫幫我(請列計算過程)(計時5小時內)

Answer 1

一.
F(100)=1*199+2*197+3*195+............+99*3+100*1 ------(1)
F(99) =1*197+2*195+3*193+............+99*1 ------(2)
=====================================
(1)-(2)=1*2+2*2+3*2+4*2+5*2+...........+99*2+100
=2*(1+2+3+4+........+99)+100
=2*[(1+99)*99/2]+100
= 10000

二.
F(100)=[summation 1---->100] i*[200-(2(i-1)+1)]
=[summation 1---->100] 201*i-2*i^2
=201*(1+2+3+...+100)-2*(1^2+2^2+.....+100^2)
=1015050-676700
=338350

Answer 2

都值得參考

Answer 3

你沒化到最簡ㄝ
f(n)=n(n+1)(2n+1)/6
數學的精神可不是這樣喔！

Answer 4

以下解答　以Σ代替　"i=1到n的Σ"　(應該懂我的意思吧)

開始囉
f(n)=Σ{i*[2*(n-i)+1]}
　　=Σ{i*[2n-2i+1]}
　　=Σ{2ni-2*i^2+i}
　　=(2nΣi)-(2*Σi^2)+Σi
　　={2n*[n(n+1)/2]}-{2*[n(n+1)(2n+1)/6]}+{n(n+1)/2}

先解(2)
　　　f(100)
　　　={200*100*101/2}-{200*101*201/6}+{100*101/2}
　　　=1010000-676700+5050
　　　=338350

再解(1)
　　　f(100)-f(99)
　　　=338350-{[2*99*99*100/2]-[2*99*100*199/6]+[99*100/2]}
　　　=338350-{99*99*100-3300*199+99*50}
　　　=10000

以上供您參考

2006-02-09 23:46:27 補充：
呵呵
大家解法相同啊
嗯
也從各位學到不少

小旭的乾淨俐落
豪哥的速度以及整理得簡捷
豪哥可惜的是最後f(100)計算錯誤吧

Answer 5

f(n)=1*(2n-1)+2*(2n-3)+.................+(n-1)*3+n*1
=>f(n)=sigam(1,n)(k(2*(n-k+1)-1)=sigamk(1,n)k(2n-2k+1)=sigam(1,n)2nk-2k^2+k=sigam(1,n)2nk-sigam(1,n)2k^2+sigam(1,n)k
=2n*n*(n+1)/2-2*n(n+1)(2n+1)/6+n(n+1)/2
=n(n+1)(6n-4n-2+3)/6
=n(n+1)(2n+1)/6
故f(100)-f(99)=(100*101*201-99*100*199)/6=100*(101*201-99*199)/6=100*600/6=10000
f(100)=(100*101*201)/6=36850　　

2006-02-09 23:13:49 補充：
計算過程中sigam(1,n)表示k從1加到n的意思

2006-02-09 23:53:48 補充：
f(100)=(100*101*201)/6=338350,抱歉,打錯了.