AMC 10 的一些題目..（２０）

Question

（一）
設ｎ為一個五位數，並設 ｑ、ｒ 分別為
ｎ除以１００ 的商數及餘數。試問有多
少個 ｎ值使得 ｑ＋ｒ可被 １１整除？
（二）
從只裝有巧克力餅、燕麥餅以及花生餅
（其中每一種餅乾至少有 ６個且同類餅均
視為一樣）的盤子中，派特任選取６個餅
乾，試問共有多少不同選法？
（三）
三個半徑為１的球彼此外切且放置在同一水
平面上, 一個半徑為２的大球放在它們的上面，
試問大球的最高點至平面的距離是多少？

希望回答的人可以把作法打的詳細一點＞＜
而且回答的是我看得懂的答案…（目前國二）
２０點…　拜託了！

答案：（一）８１８１個
　　　（二）２８種
　　　（三）(9＋√69)/3

Answer 1

第二題：
如果學過排列組合
x+y+z=6
H(3,6)=C(8,6)=28
如果沒有就用討論的吧

2006-02-07 08:09:08 補充：
第三題：假設大球原心O小球圓心O1和O2,O3連接O,O1,O2,O3,會形成一個三角錐體底面是ㄧ個正三角形最高點會通過重心的地方所以OO1=3,O1P=2/3根號3高=(根號93)/9到平面距離需加小圓與大圓半徑(1+2+(根號93)/9)=3+(根號93)/9

2006-02-07 12:56:40 補充：
小弟算錯了再補一下OO1=3,O1P=2/3* (√3/2*2)= √3/3所以O點到三角形的重心P的距離OP= √(OO1)^2-(O1P)^2= √9-1/3= √26/3= √78/3所以最高點到平面的距離為1+2+√78/3=(9+√78)/3

2006-02-08 12:58:57 補充：
最近老是算錯不好意思ㄋㄟ再算一次OO1=3,O1P=2/3* (√3/2*2)= 2√3/3所以O點到三角形的重心P的距離OP= √(OO1)^2-(O1P)^2= √3^2-(2√3/3)^2= √9-12/9=√69/9=√69/3所以最高點到平面的距離為1+2+√69/3=(9+√69)/3 #

Answer 2

(1)因n=100q+r與q+r除以11餘數相同(因為(100q+r)-(q+r)=11*9q為11的倍數)
所以q+r被11整除<=>n被11整除
但五位數中11倍數有[99999/11]-[9999/11]=9090-909=8181個
(1~n中k的倍數有[n/k]個，例：1~25中，3的倍數有[25/3]=[8+1/3]=8個)
ps. [ ]為高斯符號，[x]表小於等於x的最大整數

(2)設巧克力餅a個、燕麥餅b個以及花生餅c個，以下數對均指(a,b,c)
例：(1,2,3)表巧克力餅1個、燕麥餅2個以及花生餅3個
因a+b+c=6
若a=0，則b+c=6，則(b,c)=(0,6),(1,5),...,(5,1),(6,0)共7組
若a=1，則b+c=5，則(b,c)=(0,5),(1,4),...,(4,1),(5,0)共6組
....
若a=5，則b+c=1，則(b,c)=(0,1),(1,0)共2組
若a=6，則b+c=0，則(b,c)=(0,0)共1組
所求=7+6+...+2+1=28組
ps.高中會學到重複組合，所求個數有H(3,6)=C(8,6)=8!/(2!6!)=28

(3)這四球球心形成一個四面體O-ABC，OA=OB=OC=3，AB=BC=CA=2
O對ABC作投影點H，則H為正三角形ABC重心，所以AH=2/√3
因AH垂直OH，所以OH^2=AB^2-AH^2=9-4/3=23/3，所以OH=√69/3
所求=OH+2+1=(9+√69)/3

Answer 3

第一題的答案是 n 為 11 的倍數，所以從 10000 至 99999 的 11 的倍數有 8181 個！

Answer 4

1.因為ｎ為一個五位數,q=n/100,所以 100<= q <=999又被除數=100,所以0<=r<=99當q=100,r=10,21,32,43,54,65,76,87,98(共9個)依此類推n共有(999-100+1)*9=8100個~~~其他的還在想...

2006-02-07 07:54:48 補充：
2.假設6種各為ABCDEF(1)6同:AAAAAA,BBBBBB..............................共6種(2)5同:AAAAAB,AAAAAC.................(6-1)*6=30種(3)4同2同:AAAABB,AAAACC............(6-1)*6=30種(4)4同2異:AAAABC,AAAABD.........6*C5取2=60種(5)3同3同:AAAABBBB..................5+4+3+2+1=15種

2006-02-07 07:55:05 補充：
(6)3同3異:AAABCD,AAABCE..........6*C5取3=60種(7)2同4異:AABCDE,AABCDF...........6*C5取4=30種(8)6異:ABCDEF....................................................1種6+30+30+60+15+60+30+1=232