關於最小平方法?

Question

利用最小平方法,求得最接近點(1,2),(6,7),(3,3),(5,4)之最適合直線方程式為?
請列出算式與公式
謝謝

Answer 1

兩種解法, 你挑著用吧

令直線方程式 g(x) = a + bx
點(1,2), g(1) = a+b, g(1) - y1 = a+b- 2
點(6,7), g(6) = a+6b, g(6) - y2 = a+6b- 7
點(3,3), g(3) = a+3b, g(3) - y3 = a+3b- 3
點(5,4), g(5) = a+5b, g(5) - y4 = a+5b- 4

<方法一 : 配方法, 高中程度>
Es(error squares)
= (a+b-2)^2 + (a+6b-7)^2 + (a+3b-3)^2 + (a+5b-4)^2
= 4a^2 + 30ab + 71b^2 - 32a - 146b + 78
先對 a配方(雙十字配方, 重點 : 務必把 a全用盡)
= 4[a+(15/4)b- 4]^2 + (59/4)b^2 - 26b +14
再對 b配方
= 4[a+(15/4)b- 4]^2 + (59/4)(b- 52/59)^2 + 14 - 26^2/59
當 a+(15/4)b- 4= 0 及 b- 52/59= 0 成立時, Es 有最小值
=> b = 52/59, a = 41/59, g(x) = 52x/59 + 41/59

<方法二 : 偏微分, 大學程度>
Es(a,b) = (a+b-2)^2 + (a+6b-7)^2 + (a+3b-3)^2 + (a+5b-4)^2
令Es(a,b)對 a 微分 = 0
=> 2(a+b-2) + 2(a+6b-7) + 2(a+3b-3) + 2(a+5b-4) = 0
=> 4a + 15b = 16 ---(1)
再令Es(a,b)對 b 微分 = 0
=> 2(a+b-2) + 2(a+6b-7)(6) + 2(a+3b-3)(3) + 2(a+5b-4)(5) = 0
=> 30a + 142b = 146 ---(2)
聯立(1)(2), b= 52/59, a= 41/59, g(x) = 52x/59 + 41/59

Answer 2

是要用高中的方法還是線性代數ㄋ

Answer 3

這是高中的吧.....
早忘了公式了