設Ｌ為ｘ－ｙ＋ｚ＝１和ｘ＋ｙ－ｚ＝１兩平面的交線

Question

１．　設Ｌ為ｘ－ｙ＋ｚ＝１和ｘ＋ｙ－ｚ＝１兩平面的交線
求直線Ｌ上與點（１，２，３）距離最近之點的座標

２．　下列哪些選項和方程組
｛２ｘ＋ｙ＋３ｚ＝０　
　４ｘ＋３ｙ＋６ｚ＝０
的解集合相同？

ａ）　ｙ＝０
ｂ）｛２ｘ＋３ｚ＝０
　　　ｙ＝０
ｃ）　ｘ＝ｙ＝０
ｄ）｛ｘ＋１／２ｙ＋３／２ｚ＝０
　　　４ｘ＋３ｙ＋６ｚ＝０
ｅ）｛６ｘ＋４ｙ＋９ｚ＝０
　　　２ｘ＋ｙ＋３ｚ＝０

Answer 1

1.
Ｌ：
｛ｘ－ｙ＋ｚ＝１
｛ｘ＋ｙ－ｚ＝１
設ｚ＝ｔ（參數）
則：
｛ｘ－ｙ＝１－ｔ-------(1)
｛ｘ＋ｙ＝１＋ｔ-------(2)
(2)－(1)
２ｙ＝２ｔ→ｙ＝ｔ
代回(1)
→ｘ＝１
可知Ｌ的參數式為：
｛ｘ＝１
｛ｙ＝ｔ
｛ｚ＝ｔ
則設Ｌ上一動點Ｐ(1,ｔ,ｔ)
Ｐ與點(1,2,3)的向量是
(1-1 , ｔ-2 , ｔ-3)→(0 , ｔ-2 , ｔ-3)
所以距離是( t^2 - 4t + 4 + t^2 -6t+9)^1/2→(2 t^2 -10t +13)^1/2
裡面配方→［ 2 (t- 5/2)^2 -2*(5/2)^2 + 13］→［2 (t- 5/2)^2 + 1/2］
所以知道 ｔ=5/2 時 有 min=1/2
所以Ｐ點為(1 , 5/2 , 5/2)
有就是說 (1 , 5/2 ,5/2)與(1,2,3)距離最小#


2.
Key:凡是由列運算可得的式子都算是解集合相同

此方程組不為兩平行平面→必為一交線
(a)
ｙ＝０為一平面→與題目不一
所以(a)是錯的
(b)
上式----(1)
下式----(2)
由(2)-(1)*2 → ｙ＝０
代回(1)→ ２ｘ＋３ｚ＝０
所以　(b)是對的
(c)
由(b)知 ｘ可以不為零(為一線性關係2x+3z=0)　
所以(c)是錯的
(d)
(1)*1/2→ｘ＋１／２ｙ＋３／２ｚ＝０
(2)=(2)
所以解集合不變
所以(d)是對的
(e)
(2)+(1)→６ｘ＋４ｙ＋９ｚ＝０
(2)=(2)
所以解集合不變
(e)是對的

A:(b)、(d)、(e)

2006-02-01 21:07:53 補充：
忘了補充1.的ｔ屬於Ｒ(實數)參數式的用法:可當作是線上某一點參數式本身代表的就是由這些動點所構成的直線ｔ只是用來代表這些點如何符合這條直線而已並無太大意義