不定方程組問題-改編自蘋果日報的寶石問題

Question

以下有3種寶石組合的價錢已經標明(一)二紅一白組合的寶石為3000元。(二)四藍一白組合的寶石為2000元。(三)三綠一白一藍組合的寶石為1400元。若每種寶石的價錢都是50的倍數，且都不是免費，更不是倒貼，求紅白藍綠寶石個別的價錢。因為是不定方程，不只一組解，請求出所有的解。(最好是有過程，不是用湊的)

Answer 1

設紅寶石A元 白寶石B元 藍寶石C元 綠寶石D元
2A+B=3000－１式
4C+B=2000－２式
3D+B+C=1400－３式
１－２得　　2A-4C=1000 A-2C=500－４式
２－３得　　3C-3D=600 C-D=200 2C-2D=400 －５式
４＋５得　　A-2D=900－６式 由此知 A>900
又D為50的倍數 所以2D為100的倍數 故A也為100的倍數
依照１～６式可推得
照紅白藍綠排列
(1000,1000,250,50)
(1100,800,300,100)
(1200,600,350,150)
(1300,400,400,200)
(1400,200,450,250)
(1500,0,500,300) (此組不合 寶石沒有免費)
共5組解

Answer 2

設紅為x元,白為y元,藍為z元,綠為w元,根據條件,我們得到方程組如下:
2x+y=3000
y+4z=2000
y+z+3w=1400
經過化簡,我們得到:x-2w=900
y+4w=1200
z-w=200
=>x=900+2w
y=1200-4w
z=200+w
令w=50t,t屬於正整數,故得x=900+100t
y=1200-200t
z=200+50t
w=50t
為其解,其中t屬於正整數.