三角形面積???

Question

三角形ABC為正三角形...P為ABC中任1點...PA=5...PB=12...PC=13...求三角形ABC面積為何???...第1次發問不太 會打

各位...如果可以ㄉ話....請用簡單明瞭ㄉ算是.....還有答案...拜託各位大大ㄉ幫忙....

Answer 1

這題請拿紙筆照我的作法來畫畫吧!

畫個正三角形，最上面的頂點標A，下面兩個頂點左邊標B右邊標C。

在三角形"裡面"的左上方標一點P，做PA、PB、PC線段(盡量讓PA
現在我們把三角形PAC以A為固定點，順時針轉60度，這時P應該跑到外面了，把他標上P'，變成三角形AP'B。

這時候再把PP'連起來。
三角形APP'一定是正三角形，而且還會發現三角形BPP'是直角三角形(5^2+12^2=13^2)且直角是角P'PB。
明顯看出角APB是150度，又知道AP=5 ， BP=12 ，餘弦定理可求得AB。

AB^2=5^2+12^2-2*5*12*cos150度=169+60*√3
正三角形面積 =4分之根號3*AB平方 = (169√3+180)/4

好醜的答案 :P

2006-01-15 20:23:18 補充：
我確定我的是正確答案啦，因為思考應該無誤也驗算過一次了

Answer 2

各未謝謝妳們拉~~只不過誰能告訴我真正ㄉ答案蔫???

2006-01-17 17:05:59 補充：
各位..我把最佳答案給月影沒意見八...希望妳們能繼續幫我姊題目...感恩各位大大

2006-01-17 17:07:44 補充：
我改名叫非也非也ㄌ....請記住唷

Answer 3

假定三角形ABC邊長為(√3)*x 那麼 三角形ABC的面積為 [(3√3)*(x^2)]/4
假定 P 點座標為 ( m，n)
取三角形ABC的重心座標為原點( 0，0 ) 而 A 點座標為 ( x，0 )
那麼B點座標為 ( cos(2π/3)*x，sin(2π/3)*x )
C點座標為 ( cos(2π/3)*x，- sin(2π/3)*x )
為了方便起見 令 u = cos(2π/3) ，v = sin(2π/3)
因此 u^2 + v^2 = 1
那麼 B點座標為 ( ux，vx )
C點座標為 ( ux，- vx )
又 PA=5，PB=12，PC=13
所以
(m - x)^2 + n^2 = 25 ------------------------------(1)
(m - ux)^2 + ( n - vx)^2 = 144 ------------------(2)
(m - ux)^2 + ( n + vx)^2 = 169 -----------------(3)
由(1)展開後可得
m^2 - 2mx + x^2 + n^2 = 25 --------------------(1-2)
m^2 - 2mux + (u^2)*(x^2) + n^2 - 2nvx + (v^2)*(x^2) = 144 ------------------(2-2)
m^2 - 2mux + (u^2)*(x^2) + n^2 + 2nvx + (v^2)*(x^2) = 169 ------------------(3-2)
又 u^2 + v^2 = 1
所以 (2-2)式 可改寫成 m^2 - 2mux + (x^2) + n^2 - 2nvx = 144 ----------------(2-3)
所以 (3-2)式 可改寫成 m^2 - 2mux + (x^2) + n^2 + 2nvx = 169 ----------------(3-3)
由(1-2)式 可得 m^2 + x^2 + n^2 = 2mx + 25 -------------------------------(1-3)
分別代入 (2-3) 與 (3-3) 得到
2mx - 2mux - 2nvx = 119 --------------------------------(4)
2mx - 2mux + 2nvx = 144 -------------------------------(5)
由(4) + (5) 可得
4(1- u)mx = 263 ------------------------------------------(6)
由(5) - (4) 可得
4vnx = 25 --------------------------------------------------(7)
所以
m = 263 / [4(1-u)x]
n = 25/ 4vx
將之代回 (1-3)式 可得
69169/[16(v^2 - 2u) *x^2] + 625/[16*(v^2)*(x^2)] + (x^2) = {263 / [2(1- u)]} + 25
兩邊同乘 (x^2) 後可得
69169/[16(v^2 - 2u)] + 625/[16*(v^2)] + x^4 = { 263 / [2(1- u)] + 25 }*(x^2)
取
s = 69169/[16(v^2 - 2u)] + 625/[16*(v^2)]
t = { 263 / [2(1- u)] + 25 }
則(x^2) 剛好是
方程式 y^2 - t*y + s = 0 的正實數解
所以 x^2 = (1/2)*{ t + ( t^2 - 4s)^(1/2)}
又(t^2) = { 263 / [2(1- u)] + 25 }^2 = 69169 / [4(v^2 - 2u)] + 6575/(1- u) + 625
所以
(t^2) - 4s = 6575/(1- u) + 625 - 625/[4(v^2)]
又 u = -1/2 v= (√3)/2 v^2 = 3/4
因此
(t^2) - 4s = 13150/3 + 1875/3 - 625/3 = 4800
又 t = 338/3
所以
x^2 = (1/2)*{ t + ( t^2 - 4s)^(1/2)}
= (1/2)/{ 338/3 + 40*(√3)}
=119/3 + 20*(√3) ← 這裡是錯的
因此 正三角型ABC的面積 = (119/4)*(√3) + 45 ← 所以這裡也是錯的

因此 改一下
x^2 = (1/2)*{ t + ( t^2 - 4s)^(1/2)}
= (1/2)/{ 338/3 + 40*(√3)}
=169/3 + 20*(√3)
因此 正三角型ABC的面積 = (169/4)*(√3) + 45

2006-01-15 15:54:56 補充：
有一個公式 不過年代久遠忘了~
用代數 說真的 很累~

2006-01-15 21:49:52 補充：
月影的答案 是正確的~~
不過 要懂的畫輔助線
338/2 = 169 有看完我做法的人
應該都抓的到~

(169√3+180)/4
就是 正確答案了~~

Answer 4

可以請發問者用一下延長發問嗎??可以延後五天...因為最近比較沒時間上

2006-01-15 13:53:20 補充：
先問一下你有答案嗎??

2006-01-15 15:43:55 補充：
如果我沒記錯的話...這應該是國中的題目吧...

2006-01-15 15:53:49 補充：
今天還解不開...等這週考完期末考再來想這題ㄅ

2006-01-15 16:35:30 補充：
後來還是決定放棄這題吧...但是砌雲風的作法不是最好的...之前看過類似的題目...不過忘了...= =|||