將一個單位分數化為三個單位分數和的問題

Question

設n為大於4的自然數將1/n表為三個不相等的單位分數的和也就是 1/n=1/a 1/b 1/c (a,b.c皆為自然數且a

am=n+1,bm=2n+1

1/n=1/a+1/b+1/c ((a,b.c皆為自然數且a b c)

a＜b＜c

我一開始也以為cm=6n
但看此例
1/80=1/180+1/225+1/400
有一種快瘋掉的感覺

Answer 1

先考慮 較簡單情況
1/m = 1/a + 1/b
1/m = (a + b) / a*b
因此 ab = (a + b)*m
假定 b= x*m
那麼 ax*m = (a + x*m)*m
ax = a + x*m
(a-1)*x = x*m
所以 a = m + 1
x*m*(m + 1) = (m + 1 + x*m)*m
x*(m + 1) = (m + 1 + x*m)
所以 x = m + 1
因此 b = (m + 1)*m
1/(m+1) + 1/[(m + 1)*m] = 1/m

回到 正題 1/n = 1/a + 1/b + 1/c
因此 abc = (ab + bc + ac)*n
令 b = x*n 且 c = y*n
那麼 a*x*y(n^2) = [a*x*n + x*y*(n^2) + a*y*n]*n
則
a*x*y = (a*x*+ x*y*n + a*y*)
a*(x*y - x - y) = x*y*n
取 a = z*n
那麼 z*( x*y - x - y) = x*y
移項一下 得 (z - 1)*xy = z*(x + y)
(z-1) / z = (x + y)/x*y
取 z = 2
1/2 = 1/x + 1/y
剛好 由最上面的結果 可知 x=3 且 y=6
因此
a = 2*n
b = 3*n
c = 6*n
得出一個 無聊解
1/n = 1/(2*n) + 1/(3*n) + 1/(6*n)
除此之外
我們希望 找到更小的解
即求 三個正整數 p，q，r 滿足
1/n = 1/(2n - p) + 1/(3n - q) + 1/(6n - r)
首先 我們先通分一下
1/n = [(3n - q)*(6n - r) + (2n - p)*(6n - r) + ( 2n - p)*(3n - q)] / H
其中 H = ( 2n - p)*(3n - q)*(6n - r)
顯然 p，q，r 至少要有一個 是n的倍數
因此 取 r = u*n 其中 u 小於 6
那麼 H = ( 2n - p)*(3n - q)*(6 - u)*n
所以 p，q，u 必須滿足
(3n - q)*(6 - u)*n + (2n - p)*(6 - u)*n + ( 2n - p)*(3n - q) = ( 2n - p)*(3n - q)*(6 - u)
移項一下
(6 - u)*[3(n^2) - q*n +2(n^2) - p*n - 6(n^2) +3p*n + 2q*n - p*q] + ( 2n - p)*(3n - q) = 0
整理後
(6 - u)*[ - (n^2) + (2p + q)*n - p*q] + 6(n^2) - (3p + 2q)*n - p*q = 0
u*(n^2) + [(9 - 2u)*p + (4 - u)*q]*n + (5 - u)*p*q = 0
因此
取 u = 5
那麼 5*n = p + q 顯然不可能

故 我們無法 找到 三個正整數 p，q，r 滿足
1/n = 1/(2n - p) + 1/(3n - q) + 1/(6n - r)

因此 1/n = 1/(2*n) + 1/(3*n) + 1/(6*n) 是最小解~~

其實這一例是犧牲掉 a還可以更小的情況
1/80=1/180+1/225+1/400
1/16 = 1/36 + 1/45 + 1/80
再來兩個 解
1/n = 1/(2n) + 1/ (2n + 1) + 1/ [n(2n+1)]
1/n = 1/(n + 1) + 1/ [n(n+1) + 1] + 1/{[n(n+1)]*[n(n+1) + 1]}

現在 問題變成 兩個正整數 p，r以及整數 q 滿足
1/n = 1/(2n + p) + 1/(3n + q) + 1/[(6 - r)*n] 其中 r < 6
先考慮 r = 2 情況 在此情況 我們希望 找到 p< 2n 且 q < n 的解
1/n = 1/(2n + p) + 1/(3n + q) + 1/(4n)
移項後
3/(4n) = (5n + p + q) /[(2n + p)*(3n + q) 交叉相乘
3(2n + p)*(3n + q) = (4n)*(5n + p + q) 展開後
18*(n^2) + (9p + 6q)*n + 3*pq = 20*(n^2) + (4p + 4q)*n 移項一下
2*(n^2) - (5p + 2q)*n = 3*pq
(2n - 5p - 2q)*n = 3*p*q
假定 n = 9z
(18z - 5p - 2q)*z = p*q
討論
若q = - 6z 時 (30z - 5p) = - 2p
3p = 30z 即 p = 10z
那麼
1/(9z) = 1/ (21z) + 1/ (28z) + 1/(36z)
找到 cm = 4n 的例子~~ 有一種已經瘋掉的感覺

2006-01-14 12:04:16 補充：
嗯~~
的確 是有問題~
但顯然 p，q，r 至少要有一個
是n的倍數
當初 想的沒那麼仔細
難怪 cm = 6n 會失敗~

2006-01-19 09:37:42 補充：
故事應該 快要結束了~~取 n = 2p(1+3p) 那麼 1/n = 1/[3n - 3p] + 1/(3n) + 1/[3n + (1+3p)]當p=1時n= 8 得到 1/8 = (1/21) + (1/24) + (1/24+4)於是 得到 cm = 3n + 4 因為 有個更無聊的解1/n = (1/3n) + (1/3n) + (1/3n)所以 cm 最小就是 3n 問題 變成 3n+1，3n+2 和 3n+3 是否找的到例子~如果找不到cm = 3n + 4

Answer 2

to 砌雲風
謝謝回答
但顯然 p，q，r 至少要有一個 是n的倍數
這裡有問題
if n=t*s
take p=t,q=s
then (n-p)(n-q)就是n的倍數