微分方程 y"-9y=54tsin3t 求y

Question

微分方程 y"-9y=54tsin3t 求y 幫幫忙
微分方程 y"-9y=54tsin3t 求y 幫幫忙

Answer 1

1. Solve　y'' - 9y = 54t sin 3tsol：　　特徵方程式：r2 - 9 = 0　　→ ( r - 3 )( r + 3 ) = 0 → r = 3 , - 3 ～ 相異實根　　yh = c1e3t + c2e-3t ～ 齊性解　　利用微分運算子法求特解：　　令 d／dt ≡ D　　→ yp' = dyp／dt = Dyp　,　yp'' = d2yp／dt2 = D2yp　　→ D2yp - 9yp = 54t sin 3t　　→ yp = ( 54t sin t )／( D2 - 9 )　　　　  = 54Im{ e3it[ 1／( D2 - 9 ) ]D → D + 3i t }　　　　  = 54Im{ e3it[ 1／( D2 + 6iD - 18 ) ] t }　　　　  = 54Im{ ( cos 3t + isin 3t )[ ( - 1／18 ) - ( iD／54 ) - ...... ] t }　　　　  = 54Im{ ( cos 3t + isin 3t )[ ( - t／18 ) - ( i／54 ) ] }　　　　  = 54{ - ( cos 3t／54 ) - ( t sin 3t／18 ) }　　　　  = - cos 3t - 3t sin 3t　　→ yp = - cos 3t - 3t sin 3t ～ 特解　　y = yh + yp　　→ y = c1e3t + c2e-3t - cos 3t - 3t sin 3t #　　這題的特解可以用未定係數法算出來，我自己算過，只是比較係數時邏輯推衍怪怪的，有些係數比不出來，所以我用微分運算子法來計算特解，我在幫人解題時很不喜歡用微分運算子法算特解，除非求實效或者遇到這種怪怪的情況。　　算特解我通常用未定係數法與參數變異法，因為計算過程本身具有物理與數學的意義，現在的工數兩大聖經本如 Erwin Kreyszig 或 Peter V. O'Neil 寫的高等工程數學( Advanced Engineering Mathematics )，其在算特解時就只用未定係數法與參數變異法，微分運算子法已經都不用了；Kreyszig 在他寫的高等工數有提到〝微分運算子〞，但只是介紹一種符號，就是〝D〞，y' 可以寫成 Dy，y'' 可以寫成 D2y，就這樣而已，並沒有說如何利用微分運算子來算特解！　　微分運算子法是一種巧合下的產物，雖然可以用數學證明微分運算子法的正確性，但畢竟沒有物理意義，如果覺得考試時間不夠時我就會採用，因為計算過程簡單且速度很快！但都需記憶一些規則，包括我幫您算的特解，也是依照規則算出來的，如果您看不懂的話，沒關係，那只是您不知道規則而已，微分運算子法的數學計算絕對都不困難。　　以上是我一些計算工程數學的心得，且希望我的解題過程對您有所幫助。

Answer 2

能否請 這位大大 麻煩一下
幫我指出 錯誤地方~
我實在找不出來~

Answer 3

自然哲學的數學原理，需要多少數學能力及知識才能讀？請幫我解答。
http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/sm/sm_18_07_1/

Answer 4

特解算錯了！

2006-01-14 01:51:52 補充：
sorry！是我題目看錯！

Answer 5

y"-9y=54tsin3t

特徵方程式 r^2 - 9 = 0 所以 r = 3 and -3
所以 此方程式 有齊次解 yh = Ae^(3t) + Be^(-3t)
假定 特解yp = P*sin(3t) + Q*t*sin(3t) + R*cos(3t) + S*t*cos(3t)
yp' = 3P*cos(3t) + 3Q*t*cos(3t) + Q*sin(3t) - 3R*sin(3t) + S*cos(3t) - 3S*t*sin(3t)
yp" = (- 9P)*sin(3t) - 9Q*t*sin(3t) + 6Q*cos(3t) - 9R*cos(3t) - 6S*sin(3t) - 9S*t*cos(3t)

9yp = 9P*sin(3t) + 9Q*t*sin(3t) + 9R*cos(3t) + 9S*t*cos(3t)
yp" - 9yp = (-18P-6S)*sin(3t) -18Q*t*sin(3t) + (6Q - 18R)*cos(3t) - 18S*t*cos(3t)
又 y"-9y=54tsin3t
比較係數後 P = 0 且 S = 0 且 -18Q = 54 且 6Q = 18R
故可解得 Q = - 3 R = -1
所以 特解 yp = - 3t*sin(3t) - cos(3t)
驗算 yp' = -9t*cos(3t) - 3sin(3t) + 3sin(3t) = -9t*cos(3t)
yp" = 27t*sin(3t) - 9cos(3t)
9yp = -27t*sin(3t) -9cos(3t)
yp" - 9yp = 54tsin3t 驗算成功
所以 方程式 y"-9y=54tsin3t
解為 y = yp + yh = - 3t*sin(3t) - cos(3t) + Ae^(3t) + Be^(-3t)
其中 A與B 要有初始條件 才能解~

2006-01-13 08:25:40 補充：
能否請 這位大大 麻煩一下
幫我指出 錯誤地方~
我實在找不出來~