一題工數要解歐西柯拉方程式

Question

4x²ÿ 8xý-3y=7x²-15x³~請附詳解....3Q

Answer 1

1. Find the general solution of 4x2y'' + 8xy' - 3y = 7x2 - 15x3sol：　　令 x = et → t = ln│x│　　y' = dy／dx = ( dy／dt )( dt／dx ) = ( 1／x )( dy／dt )　　y'' = d2y／dx2 = ( d／dx )[ ( 1／x )( dy／dt ) ]　　　 = ( 1／x2 )( d2y／dt2 ) - ( 1／x2 )( dy／dt )　　將 y'、y'' 代入原 Cauchy - Euler equation 得：　　→ 4( d2y／dt2 ) + 4( dy／dt ) - 3y = 7e2t - 15e3t　　→ ( d2y／dt2 ) + ( dy／dt ) - ( 3／4 )y = ( 7／4 )e2t - ( 15／4 )e3t　　特徵方程式：λ2 + λ - 3／4 = 0　　→ ( λ - 1／2 )( λ + 3／2 ) = 0 → λ = 1／2 , - 3／2　　yh = c1e( 1／2 )t + c2e( - 3／2 )t = c1x( 1／2 ) + c2x( - 3／2 ) ～ 齊性解　　用未定係數法求特解：　　Let yp = Ae2t + Be3t　　→ yp' = 2Ae2t + 3Be3t　,　yp'' = 4Ae2t + 9Be3t　　( d2yp／dt2 ) + ( dyp／dt ) - ( 3／4 )yp = ( 7／4 )e2t - ( 15／4 )e3t　　→ ( 21A／4 )e2t + ( 45B／4 )e3t = ( 7／4 )e2t - ( 15／4 )e3t　　比較係數得：21A／4 = 7／4 → A = 1／3　　　　　　　　45B／4 = - 15／4 → B = - 1／3　　→ yp = ( 1／3 )e2t - ( 1／3 )e3t = ( 1／3 )x2 - ( 1／3 )x3 ～ 特解　　通解：y = yh + yp　　→ y = c1x( 1／2 ) + c2x( - 3／2 ) + ( 1／3 )x2 - ( 1／3 )x3 #

2006-01-12 07:41:00 補充：
實在搞不懂，沒給初值條件，甚至邊界值條件也未給，怎麼可以用Laplace轉換來算呢？太神奇啦！

2006-01-14 01:26:26 補充：
小頻版主，我就是要避免用參數變異法求特解，所以才這樣算，一方面積分減慢計算速度，令一方面要打行列式出來很麻煩，如果你要的話，請把e-mail給我，我寫一寫掃描圖檔給你比較快。

Answer 2

那如果用郎斯基來求Yp怎麼求出解?

Answer 3

4x2y"+8xy'-3y=7x2-15x3(1)解齊次解 yh=?   4x2y"+8xy'-3y=0   齊次歐拉柯西方程式的解型式為 y=xm   代入可得輔助方程式： 4m(m-1)+8m-3=0    => 4m2+4m-3=0    => (2m-1)(2m+3)=0    => m=1/2, -3/2  故得 yh=C1x1/2+C2x-3/2(2) 求特解 yp=?    可使用未定係數法求解，    假設 yp=Ax3+Bx2+Cx+D         yp'=3Ax2+2Bx+C         yp"=6Ax+2B     代入原式     4x2(6Ax+2B)+8x(3Ax2+2Bx+C)-3(Ax3+Bx2+Cx+D)=7x2-15x3    => 45Ax3+21Bx2+5Cx-3D=7x2-15x3    比較係數可得 45A=-15, 21B=7, 5C=0, -3D=0    => A=-1/3, B=1/3, C=0, D=0    所以 yp=(-1/3)x3+(1/3)x2(3) 通解為     y=yh+yp=C1x1/2+C2x-3/2+(-1/3)x3+(1/3)x2

Answer 4

用未定係數法求特解我覺得也不是很好，太慢了！
直接用微分運算子才是快的方法！

Answer 5

令t=lnx ; e^t= x
[4(D(D-1))+8D-3]y=7e^2t- 15e^3t
[4(D^2+D-3/4)]y=7e^2t- 15e^3t
(D^2+D-3/4)y=(7/4)e^2t- (15/4)e^3t
換成S領域 (S^2+S-3/4)Y(S)=N(S)+(7/4)/S-2 -(15/4)/S-3
Y(S)=N(S)/(S+3/2)(S-1/2)+[-(8/4)S+(9/4)]/ (S+2/3)(S-1/2)(S-2)(S-3)
Y(S)=C1/(S+3/2)+C2/(S-1/2)+A/(S-2)+B/(S-3)
A=1/3 ; B=-1/3
Y(S)=C1/(S+3/2)+C2/(S-1/2)+(1/3)/(S-2)+(-1/3)/(S-3)
Y(t)=C1e^-(3/2)t+C2e^(1/2)t+(1/3)e^2t-(1/3)e^3t
在轉成Y(x)=C1x^(-3/2)+C2x^(1/2)+1/3x^2-1/3x^3