設方程式 x^4＋3x^3＋bx^2＋cx＋10=0求四根？

Question

設方程式 x^4＋3x^3＋bx^2＋cx＋10=0 有四個相異有理根，則此四根為何？
(代號89010311)

若 x^3＋x^2＋ax＋2 與 x^3＋2x^2＋bx＋1 之 LCM 為四次式，求序對 ( a , b )？(LCM=最小公倍式)
(代號89010312)

Answer 1

設原式－ x4＋3x3＋bx2＋cx＋10=0 ，可分解成：　(x2+mx+5)(x2+nx+2)=0　或　(x2+mx-5)(x2+nx-2)=0又因方程式有四個相異的有理根，所以其根的判別式必為平方數，即　m2-20 = p2  且  n2-8 = q2　或　m2+20 = p2  且  n2+8 = q2　由上述二組聯立方程式中可找出 m2+20 = p2  且  n2+8 = q2 的解　　　　m = +4  => p = 6  且  n = +1  =>  q = 3代入原式可得　(x2+4x-5)(x2-x-2)=0    x = 1, -5, 2, -1 因 LCM 為四次式，所以其最大公因式必為二次式，所以兩式相減得－　(x3＋2x2＋bx＋1) - (x3＋x2＋ax＋2) = x2 + (b-a)x - 1 此式必能整除 x3＋2x2＋bx＋1，也能整除 x3＋x2＋ax＋2！故經由多項式除法得  a-b = -3    且   a-2b = 1所以序對 ( a , b ) = ( -7 , -4 )

2006-01-03 10:10:57 補充：
謝謝 Ken 的指教！

Answer 2

1. 設原式 x4＋3x3＋bx2＋cx＋10=0, 可分解成:　(x2+mx+5)(x2+nx+2)=0　或　(x2+mx-5)(x2+nx-2)=0  因方程式有四個相異的有理根,所以其根的判別式必為完全平方數,分兩組討論 另需符合 m+n=3 這個x3項的係數條件   (1) (x2+mx+5)(x2+nx+2)=0　    m2-20 及  n2-8 為完全平方, 找到m=6, n=-3      符合 62-20=42, (-3)2-8=12, m+n=6-3=3等3個條件      (x2+6x+5)(x2-3x+2)=0, (x+1)(x+5)(x-1)(x-2)=0       四個相異的有理根為 x=-1, -5, 1, 2  (2) (x2+mx-5)(x2+nx-2)=0　    m2+20 及  n2+8 為完全平方, 找到m=4, n=-1      符合 42+20=62, (-1)2+8=32, m+n=4-1=3等3個條件      (x2+4x-5)(x2-1x-2)=0, (x-1)(x+5)(x+1)(x-2)=0       四個相異的有理根為 x=1, -5, -1, 2  (1)&(2) 得到一樣的答案  2. 因LCM為四次式，所以其最大公因式必為二次式，所以兩式相減　(x3＋2x2＋bx＋1) - (x3＋x2＋ax＋2) = x2 + (b-a)x – 1  此式也必能整除 x3＋2x2＋bx＋1，同時因式必為 x-1   x3＋2x2＋bx＋1= (x2 + (b-a)x – 1)(x-1)               = x3＋(b-a-1)x2＋(-b+a-1)x＋1  比較係數得聯立方程式  b-a-1=2  -b+a-1=b  解得b=-4, a=-7

Answer 3

第一題利用根離係數
四根相乘必為10
故可推斷為±1,-2,5
或±1,2,-5
再配合四根相加等於-3
解得四根為±1,2,-5

Answer 4

００７ 的答案
x = 1, -4, 2, -1
應為x = 1, -5, 2, -1