個經問題求救~拜託~"20點"喔

Question

題目：
令消費者效用函數： U(X1,X2)：X1的四分之一次方 × X2四分之三次方
已知：P1,P2,M
(1)求X1的M次方,X2的M次方,入的M次方
(2)間接效用函數V(P1,P2,M)
(3)令U(X1,X2)=V(P1,P2,M),已知 P1=30, P2=10, M=1000 求X1的h次方,X2的h次方,
及E(先寫出函數，再求值)
(4)根據Slutsky Ecluation 代入P1=30, P2=0, M=1000
求 ⅰ：Price Effect=?
ⅱ：Substitute Effect=?
ⅲ：Income Effect=?

請問砌雲風~
不好意思喔~
確定這是正確答案嗎?@@a

Answer 1

U(X1,X2) = [X1^(1/4)]*[X2^(3/4)]
這種效用函數 在預算限制下求效用極大 結果
會有
(P1)*(X1) = (1/4)*M 即X1 = (1/4)*M/(P1)
(P2)*(X2) = (3/4)*M 即X2 = (3/4)*M/(P2)
所以 V(P1,P2,M) = [(1/4)^(1/4)]*[(3/4)^(3/4)]*[(P1)^(-1/4)]*[(P2)^(-3/4)]*M
故 入 = dV(P1,P2,M)/dM
= [(1/4)^(1/4)]*[(3/4)^(3/4)]*[(P1)^(-1/4)]*[(P2)^(-3/4)]
(1)求X1的M次方,X2的M次方,入的M次方
哪來的M次方 那是一個上標 用來和Hicks的需求函數區分
(2)間接效用函數
把所求到的需求函數 代入效用函數中 即可求得

這兩題答案 都在上面應該很好處理

(3) 先把用P1=30, P2=10, M=1000 把U= V(P1,P2,M)的值算出
所以 由對偶原理可知
E(P1,P2,U) = (1/入)*U
= [(1/4)^(-1/4)]*[(3/4)^(-3/4)]*[(P1)^(1/4)]*[(P2)^(3/4)]*U
又 X1(Hicks) = dE(P1,P2,U) / d(P1)
= {[(1/3)*(P2/P1)]^(-3/4)}*U

且 X2(Hicks) = dE(P1,P2,U) / d(P2)
= {[3(P1/P2)]^(-1/4)}*U
所以 X1(Hicks) X2(Hicks) 與 E 直接代入 P1 P2 以及所算出的U 即知~
問題不是在求X1的h次方,X2的h次方 而是求 Hicks的需求函數
(4)
那麼 Slutsky 方程組為
dX1(Hicks)/dP1 = (dX1/dP1) + (dX1/dM)*X1
dX1(Hicks)/dP2 = (dX1/dP2) + (dX1/dM)*X2
dX2(Hicks)/dP1 = (dX2/dP1) + (dX2/dM)*X1
dX2(Hicks)/dP2 = (dX2/dP2) + (dX2/dM)*X2
所以 Price Effect 就是上述每條方程式右邊前半部份部份
Substitute Effect 上述每條方程式左邊部份
Income Effect 就是 上述每條方程式右邊後半部份

補記:
C-D形態的效用函數 U=(X^a)*(Y^b) 在預算限制 Px*X + Py*Y = M 的最適條件為
令 L = U=(X^a)*(Y^b) + 入*(M - Px*X + Py*Y)
dL/dX = dU/dX -入*Px = 0 即 a*U/X = 入*Px -----------(1)
dL/dY = dU/dY -入*Py = 0 即 b*U/Y = 入*Py -----------(2)
dL/d入= M - Px*X + Py*Y = 0 ---------------------------------(3)
用(1)式除以(2)式 得到 (a/b)*(Y/X) = (Px/Py) -----------(4)
由(4)移項後可得 Y*Py = (b/a)*X*Px
又由(3) Px*X + Py*Y = M
可得 [1+ (b/a)]*Px*X = M 所以 Px*X = [a/(a+b)]*M 當然 Py*Y = [b/(a+b)]*M
所以
V(Px，Py，M) = {[a/(a+b)]*(M/Px)}^a 乘上{[b/(a+b)]*M/Py}^b
若a+b=1時 V(Px，Py，M) = (a^a)*(b^b)*[(Px)^(-a)]*[(Py)^(-b)]*M
可以知道 此時 V(...)是 M的一次函數 那麼 dV/dM = V/M
又由(1)與(2)
我們把(1)式 兩邊乘上X 可得 a*U = 入*Px*X .............(5)
我們把(2)式 兩邊乘上Y 可得 b*U = 入*Py*Y .............(6)
再把(5)(6)兩式相加 可得 U = 入*[Px*X + Py*Y] = 入*M
因此 入 = U/M = V(Px，Py，M) / M = dV(Px，Py，M)/dM
所以 不會有錯~~
要正確答案 要自己算出來 式子都列出來了~~