微積分快要變成危機分啦～急急急...我快要被當啦～

Question

1.微積分的3個基本定理我看書都看不懂耶...
有沒有大大能口語化的幫我解釋...

2.還有請問唷...
微分後是函數的斜率
積分是指函數與X軸跟指定範圍間的面積對吧

3.那如果函數中間曾經經過X軸...=>積分直為負
那X軸下方面積要以負的計算還是正的？

4.還有就是dx/dy該怎麼唸？代表什麼意思
為何有時候dy/dx只是擺著看
有時後卻又意味著某個數字...像在定基分裡面好像有個是數值替換還是什麼的
dy/dx帶入某數...居然跟旁邊的dx相消掉了...記得前幾章老師不是有說
dy/du *du/dx=dy/dx的原因並不是因為上下相消....而且上下不能相消...但是在這張又這樣相消掉了= =

5.還有就是dx擺在某數旁邊究竟意味著什麼？怎麼好像有時候是代表該數是為分過的數字...有時後卻又是代表要對該數作為分...究竟是怎樣= =？
那S 3X 3 dx這當中dx又代表著什麼角色呢？PS.以S代表積分符號

目前能想到的只有這些問題
煩請各位聰明的大大幫幫我呀~~~~我可不想大學第一年就被21
錯錯錯>"<無論是第幾年都不想被21呀~~~~...

Answer 1

1.微積分的3個基本定理我看書都看不懂耶...
有沒有大大能口語化的幫我解釋...
ANS.你說的這3個基本定理是那3個也不說清楚，微積分的基本定理太多了。
2.還有請問唷...
微分後是函數的斜率
積分是指函數與X軸跟指定範圍間的面積對吧

3.那如果函數中間曾經經過X軸...=>積分直為負
那X軸下方面積要以負的計算還是正的？

4.還有就是dx/dy該怎麼唸？代表什麼意思
為何有時候dy/dx只是擺著看
有時後卻又意味著某個數字...像在定基分裡面好像有個是數值替換還是什麼的
dy/dx帶入某數...居然跟旁邊的dx相消掉了...記得前幾章老師不是有說
dy/du *du/dx=dy/dx的原因並不是因為上下相消....而且上下不能相消...但是在這張又這樣相消掉了= =
Ans.dx/dy→就是函數x對y做微分，反之dy/dx就是函數y對x做微分。

5.還有就是dx擺在某數旁邊究竟意味著什麼？怎麼好像有時候是代表該數是為分過的數字...有時後卻又是代表要對該數作為分...究竟是怎樣= =？
那S 3X 3 dx這當中dx又代表著什麼角色呢？PS.以S代表積分符號
Ans.你的3X 3這個3是放在指數位置還是常數呢?

Answer 2

可是我覺得第二位回答的比較好說...但為啥是第一位的選票比較多呢?
(個人的想法)

Answer 3

１.微積分基本定理
　Suppose that ｆ is conti. on [a,b]
　Ｉ　Let Ｆ(x)＝∫ｆ(t)dt , {從a積到x}，凡x屬於[a,b]
　　　then Ｆ'(x)＝ｆ(x)，凡x屬於[a,b]
　Ⅱ　If Ｇ is any antiderivative of ｆ on [a,b]
　　　（即Ｇ'(x)＝ｆ(x)，凡x屬於[a,b]）
　　　then ∫ｆ(t)dt {從a積到b}＝Ｇ(b)－Ｇ(a)
　　　　　＝Ｇ(x)| {從a積到b}
舉例來說，
d/dx ∫1/tdt，{從1積到x}，凡x>0＝1/x

２.
簡單來說微分後是代表斜率，而積分後代表面積
並不一定都是針對函數而言，除非題目有強調

３.
如果知道方程式都是大於０的，那就可以直接從給的範圍
（例如〔a,b〕，a 但若有小於０的地方，直接用上面的方法，
算出來的面積是負的
所以你要自己在方程式前帶負號即可
因為面積沒有負的
以上皆是針對要算面積而言

４.
dy/dx　這是說有個方程式y=x^3（我自己舉例的）
　　　　y對x微分
dx/dy　這是說有個方程式x=y^3（我自己舉例的）
　　　　x對y微分
這兩個意思不一樣
dy/du *du/dx=dy/dx　意思並不是說du相消的意思
這是微分鏈律
通常是要求dy/dx，但y給定卻是u的方程式，
另外再給u是x的方程式，所以才要利用dy/du *du/dx算
Theorem:[The Chain Rule，微分鏈律]
If ｇ is diff. at x and ｆ is diff. at ｇ(x)
then　(a)ｆ。ｇ is diff. at x
　　　(b)(ｆ。ｇ)'(x)=ｆ'(ｇ(x))‧ｇ'(x)
微分鏈律是用在對合成函數（如ｆ。ｇ）微分時所用的
舉例來說，ｆ(x)=sin(x^2+x), find ｆ'(x)=?
這就是合成函數的微分
首先
令ｆ(u)=sin(u), u=ｇ(x)=x^2+x {→ｆ(ｇ(x))=sin(x^2+x)為題目所求}
在利用為分鏈律　(ｆ。ｇ)'(x)=ｆ'(ｇ(x))‧ｇ'(x)
得 ｆ'(x)=cos(x^2+x)‧(2x+1)

５.
通常會用Ｄ來表示微分（因微分英文是differentiable）
對方程式微分前都會加個d/dx
d/dx只是用來表示微分，微分後就不用再寫出來
∫ｆ(t)dt →dt是代表對t積分，其它變數都當常數看
因ｆ(t)不一定只有一個變數，有可能包含多個變數
此時就必須看是對哪個變數做積分