問幾題數學《關於多次方程式》（1）→20點

Question

我要問以下幾題麻煩幫解一下，並列出算式，非常感謝！
1.設f（x）＝x^6－x^4－x^2＋1
（1）將f（x）分別在R﹝x﹞與C﹝x﹞中分解因式
（2）解方程式f（x）＝0
2.實係數多項式f（x）＝x^6＋17x^5＋ax^3＋bx^2－cx＋d，若f（－2＋3i）＝16－3i，f（1－4i）＝－21，求
（1）f（－2－3i）＝？
（2）f（1＋4i）＝？
3.a、b屬於實數，a≠0，若方程式f（x）＝x^4－x^3＋ax^2＋11x＋b＝0之一根為1－2i，求a、b之值，並解此方程式
4.已知方程式x^4＋ax^3－6x^2＋bx＋1＝0有一根為1－√2，a、b屬於有理數，a、b求之值並解此方程式
5.設整係數方程式x^4＋2x^3＋px^2＋qx＋15＝0有四個相異的有理根，是求此四根並求p、q之值

Answer 1

解方程式 f(x) = x6 - x4 -x2 +1 = 0     x6 - x4 -x2 +1 = 0     x4(x2-1) - (x2-1) = 0     (x2-1)(x4-1) = 0     (x2+1)(x2-1)2 = 0     (x2+1)[(x+1)(x-1)]2 = 0故 x = 1, -1 (實數重根)因為 f(-2+3i) = 16-3i，f(1-4i) = -21，而 -2-3i 與 1+4i 分別是 -2+3i 與 1-4i 的共軛虛根，所以其結果也是和原式的結果相同：　　　f(-2-3i) = 16-3i       f(1+4i) = -21因方程式 f(x) = x4 -x3+ax2+11x＋b = 0 之一根為 1-2i，所以將 x = 1-2i 展開：　　x = 1-2i  ==>  (x-1) = -2i  ==>  (x-1)2 = -4  ==>  x2-2x+5 = 0故方程式 f(x) = x4 -x3+ax2+11x＋b = 0 有 x2-2x+5 之因式，故可被 x2-2x+5 整除。將方程式 f(x) = x4 -x3+ax2+11x＋b = 0 除以 x2-2x+5 的結果如下：　　　　6 + 2(a-3) = 0         a = 0           b - 5(a-3) = 0          b = -15所以原方程式 f(x) = x4 -x3+11x-15 = 0 可化簡如下：　　　　f(x) = (x2-2x+5)(x2+x-3) = 0　　　　x = 1+2i, 1-2i, (-1+√13)/2, (-1-√13)/2    因方程式x4＋ax3－6x2＋bx＋1＝0有一根為 1－√2，則 x = 1-√2　x = 1-√2　＝＞　x-1 = -√2　＝＞　(x-1)2 = 2　＝＞　x2-2x-1 = 0則方程式 x4＋ax3－6x2＋bx＋1＝0 可被 x2-2x-1 整除，故可得　　　5-2(a+2) = 1         a = 0　　　(b+2)-2 = 0           b = 0所以原方程式 x4＋ax3－6x2＋bx＋1＝0 為 x4-6x2+1 = 0，經因式分解得原式為 (x2-2x-1)(x2+2x-1) = 0故解得　x = 1+ √2, 1-√2, -1+√2, -1-√2因方程式x4＋2x3＋px2＋qx＋15＝0有四個相異的有理根，所以假設此方程式可以分解為 (x2+ax+3)(x2+bx+5) = 0，則展開此一乘積　　　　a+b = 2　　　　ab+8 = p　 　　　　5a+3b = q則因此方程式有四個相異的有理根，所以根的判別式為一平方數。故得以下關係：　　　　a2-4x1x3 = 平方數　　a2-12 = 平方數　　　　b2-4x1x5 = 平方數　　b2-20 = 平方數故可得解如下：　　　　a2-12 = 4      a2 = 16      a = 4, -4　　　　b2-20 = 16    b2 = 36      b = 6, -6又因 a+b = 2，故只有一個可能： a = -4     b = 6原方程式可以分解為 　(x2-4x+3)(x2+6x+5) = 0故　　　p = -16　　　q = -2四根為　(x-1)(x-3)(x+1)(x+5) = 0　　　　x = 1, 3, -1, -5

Answer 2

何謂有理根?