牛頓定理~因式分解

Question

牛頓的[一次因式檢查法]
要怎麼用
麻煩解釋一下
用下列例題做好嗎:
f(x)=2x^4-5x^3 x^2-10x-6=0
求此方程式之
所有有理根
不要只給我詳解
我要知道怎麼用
麻煩請說明

Answer 1

牛頓定理:
ax+b｜f(x)=a(n) x^n+a(n-1) x^(n-1)+…+a(1) x+a(0)∈Z[x],(a,b)=1 (a(i)表i次項係數)
1.a｜a(n),b｜a(0) (一次因式檢查法)
2.a-b｜f(1),a+b｜f(-1)
pf:
f(b/a)= a(n) (b/a)^n+a(n-1) (b/a)^(n-1)+…+a(1) (b/a)+a(0)=0
∴a(n) b^n+a(n-1) b^(n-1)a+…+a(1) ba^(n-1)+a(0)a^n=0
-a(n) b^n=a(a(n-1) b^(n-1)+…+a(1) ba^(n-2)+a(0)a^(n-1))
∴a｜a(n) b^n ∵(a,b)=1 ∴a｜a(n)
又
- a(0)a^n= a(n) b^n+a(n-1) b^(n-1)a+…+a(1) ba^(n-1)
- a(0)a^n=b(a(n) b^(n-1)+…+a(1) a^(n-1))
∴b｜a(0) a^n ∵(a,b)=1 ∴b｜a(0)
又
∵f(1)=(a-b)Q(1), f(-1)=(a+b)Q(-1)
∴a-b｜f(1),a+b｜f(-1)

例題:
f(x)=2x^4-5x^3+x^2-10x-6=0
∵a=1,2
b=±1,±2,±3,±6
a-b=±1,±2,±3,±6,±9,±18
a+b=±1,±2,±3,±4,±6,±12
∴ax+b=x+2,x-2,x-3,2x+1,2x-1
由綜合除法知
x+2,x-2,2x-1不合
得f(x)=2(x-3)(2x+1)(x^2+2)=0
∴其有理根為3,-(1/2)

Answer 2

要先知道"因式定理"才能往前推導牛頓一次因式檢驗定理。

Answer 3

輔助定理 a-b為f(1)之因數 a+b為f(-1)之因數
如須證明再找我喔
大頭先生
證明給一下ㄅ

2005-12-25 10:43:40 補充：
還有
f(1)=-18 不合
f(-1)=12 不合
不合是啥意思

Answer 4

牛頓定理
一多項式 f(x) [係數要為整數 這很重要]
有一次因式 ax-b (a,b為整數)
則 a 為首向係數之因數 b 為常數項之因數
輔助定理 a-b為f(1)之因數 a+b為f(-1)之因數
如須證明再找我喔

用來分解整係數高次多項式或方程式

本題為f(x)=2x^4-5x^3+x^2-10x-6=0
由牛頓定理知
f(x)=(ax-b)*Q(x)
a為2的因數 b為-6之因數
所以 a=+1.-1.+2.-2 b=+1.-1.+2.-2.+3.-3.+6.-6
由因式定理之f(b/a)=0
所以b/a=+1.-1.+2.-2.+3.-3.+6.-6.+1/2.-1/2.+3/2.-3/2
f(1)=-18 不合
f(-1)=12 不合
a-b為-18之因數 a+b為12之因數
把上面可能ㄉb/a帶入a-b和a+b 檢驗
可找出符合的 再把綜合除法把f(x)除以符合的b/a
餘數為零ㄉ就對ㄌ
所以f(x)=(x+3)(2x+1)(x^2+2)
x=-3.-1/2.+根號2i.-根號2i
有理跟為3.-1/2

Answer 5

　　原式 = 2x4-5x3+x2-10x-6 = 0，因 f(1)=-18，f(0)=-6，f(-1)=12，所以有一解介於 0 至 -1 之間，故 f(-0.5)=0，因此可找出一解為 (2x+1)，原式 = (2x+1)(x3-3x2+2x-6) = 0。　　依此類推，原式 = (2x+1)(x-3)(x2+2) = 0，所以可得兩個有理根為 3 和 -0.5。