若α及β為兩實數,且聯立方程式.....

Question

若 α 及 β 為 兩 實 數, 且 聯 立 方 程 式
圖片參考：http://www.scu.edu.tw/jcee/jcee/exam/college/g0e.gif
(1-α)x 7y=1 x y αz=β 2αy z=0 有 兩 組 以 上 之 解, 則 α 之 值 為 ____, β 之 值 為 ____

Answer 1

有兩組以上之解→無限多組解→Δ＝0
　　∣１－α　　７　　０∣
Δ＝ ∣１　　　　１　　α ∣＝０
　　∣０　　　２α　　１∣

→1-α-7-2α^2+2α^3=0
→(α-2)(2α^2+2α+3)=0
∵2α^2+2α+3的判別式＜0
∴2α^2+2α+3恆正
→α=2
代入原方程式得：
①-x+7y=1
②x+y+2z=β
③4y+z=0
①+②×2-③：0=1+β　→　β=-1

Answer 2

(1-α)x+7y=1 ...(1)x+y+αz=β ...(2)2αy+z=0 ...(3)由(3)=> z=-2αy代入(2)=> x+y-2α2y=β       => x=(2α2-1)y+β代入(1)=> (1-α)[(2α2-1)y+β]+7y=1       => [(1-α)(2α2-1)+7]y+(1-α)β=1       => [-2α3+2α2+α+6]y=1-β+αβ       => -(α-2)(2α2+2α+3)y=1-β+αβ上式要有兩個以上之解(其實就是無窮多組解)必須等號兩邊都等於零，即 0=0故得 -(α-2)(2α2+2α+3)=0 => α=2 (另二複數根不合)      1-β+αβ=0 => 1-β+2β=0 => β=-1