設f(x) = 3x^4-5x^3＋6x＋4＝....

Question

設f(x) = 3x4 －5x3 ＋6x ＋4 = a(x-1)4 ＋b(x-1)3 ＋c(x-1)2 ＋d(x-1)＋ e，則 a＋b＋c＋d＋e = ？

Answer 1

( X^A 表 X 的 A 次方 )
設 f(x) = 3x^4 － 5x^3 ＋ 6x ＋ 4
= a(x-1)^4 ＋b(x-1)^3 ＋c(x-1)^2 ＋d(x-1)＋ e------------(*)
，則 a＋b＋c＋d＋e = ？

分析：
此題經過設計，可不必盡求a,b,c,d,e
將 a＋b＋c＋d＋e 與(*)式比較
發現當 X = 2 代入(*)時 ， f(2) = a＋b＋c＋d＋e

[解]
X = 2 代入 f(x) = 3x^4 － 5x^3 ＋ 6x ＋ 4
= a(x-1)^4 ＋b(x-1)^3 ＋c(x-1)^2 ＋d(x-1)＋ e
則3( 2 )^4 － 5( 2 )^3 ＋ 6( 2 ) ＋ 4
= a( 2-1 )^4 ＋b( 2-1 )^3 ＋c( 2-1 )^2 ＋d( 2-1 )＋ e
則 a＋b＋c＋d＋e = 24

Answer 2

3x4 －5x3 ＋6x ＋4＝3(x-1)4 ＋7(x-1)3 ＋3(x-1)2 ＋3(x-1)＋8 ←利用除法可得故a＋b＋c＋d＋e＝3＋7＋3＋3＋8＝24