數學問題(解方程式)

Question

設p為正整數且p<=100 又方程式x^3加x減p=0 有有理根 則p的所有可能值為哪些???

Answer 1

因為剛好 方程式的最高係數是 1
但因為 p 是正整數 所以原題目說的 "方程式有有理根"
可以改寫為 "原方程式有整數根" (用牛頓一次有理因式檢驗法 可能的根為 ±r/1
其中 r 是 p 的因數)
設整數根是 q 則 q^3 + q - p = 0 得 p = q ( q^2 + 1 )
因為 p 是正整數 所以 q 也是正整數
q = 1 則 p = 3
q = 2 則 p = 10
q = 3 則 p = 30
q = 4 則 p = 68
若 q ≧ 5 則 p≧100 不合 !

所以 p 值為 3 , 10 , 30 , 68

Answer 2

1)
p≦100，且p是正整數，又 x^3+x-p=0有有理根
→此有理根必為正整數
(由有理根的判別法及餘式定理可得)
2)
設 f(x) = x^3+x-p
則
(1) f(1) = 2 - p = 0 → p = 2＃
(2) f(2) = 10 - p = 0 → p = 10＃
(3) f(3) = 30 - p = 0 → p = 30＃
(4) f(4) = 68 - p = 0 → p = 68＃
(5) f(5) = 130 - p = 0 → p = 130(不合)＃
A : p = 2 或 10 或 30 或 68