請問 n/10、n^2/40、...，求 n 為多少？

Question

請問 n/10、n2/40、n3/60 都是正整數的最小整數，求 n 為多少？

Answer 1

10=2X5 (n必為10的倍數)
40=2^3X5 (n^2必為2^3X5的倍數==>n為2^2X5的倍數)
60=2^2X3X5(n^3必為2^2X3X5的倍數==>n為2X3X5的倍數)

總結1,2,3行 n的最小整數值為2^2X3X5=60

Answer 2

題目是否為，請問 n/10、n^2 / 40、n^3 / 60 都是正整數，求最小整數 n 為多少？

分析：
1. 先由次方小者著手較易，處理順序為
先 n/10 ， 再 n^2 / 40 ，後 n^3 / 60
2. 若 P 為質數，P 整除 ab，則 p 整除 a，或 p 整除 b
3. a 整除 bc，若 a 與 b 互質 ，則 a 整除 c
[解]
<1>
由 n/10 是正整數 ，令 n = 10k--(1)
代入 n^2 / 40
由題意，則 100 k^2 / 40 是正整數，
「上下同約 20，則 5 k^2 / 2 是正整數，
即 2 整除 5 k^2，由上 3.
因 2 與 5 互質，則 2 整除 k^2，由上2. ，
因 2 為質數，則 2 整除 k，令 k = 2 r---(2)」

<2>
(2)代入(1)得 n = 20 r----(3)
代入 n^3 / 60
則 8000 r^3 / 60 是正整數，
仿照<1>(「---」中的過程 )
得 3 整除 400 r^3，
由上3.，3 整除 r^3，由上2.，3 整除 r
令 r = 3 t---(4)代入(3)
得 n = 60 t ，則最小正整數 n = 60
其中 (1)(2)(4)式中，k, r, t 是正整數

Answer 3

10=2*5
40=(2^3)*5　開根號後　(2^1.5)*(5^0.5)
60=(2^2)*3*5開三次方根(2^0.67)*(3^0.33)*(5^0.33)

所以最小的n　取　(2^2)*(3^1)*(5^1)=60

答60