完全平方數之證明

Question

試證
在數列55，555，5555，55555…………………中沒有一項是完全平方數

Answer 1

在數列55，555，5555，55555…………………中沒有一項是完全平方數

[證]
用反證法，假設存在有一項55……55(共K個5)是完全平方數
即 55……55 = A*A--(1) (*表乘號)，設A為正整數
∵55……55 = 5*11……11--(2)，由(1)則 5 整除 A*A
又 5 是質數 ，則 5 整除 A
∴令 A = 5M，M是正整數，由(1)(2)
則A*A = 25 M*M= 55……55 = 5*11……11 ，左右同除以5
則 11……11 = 5M*M---(3)
但11……11的個位數不是0或5
∴11……11不是5的倍數，與(3)矛盾
所以假設錯誤，即此數列中，完全平方數不存在

Answer 2

法一：完全平方數除以4必然餘0(若平方根為偶數)或餘1(若平方根為奇數)。5555....55≡55≡3(mod 4)(5555....55除以4餘3)所以555.....55不是完全平方數。法二：若5555....55是完全平方數，則其平方根的個位數必然是5，令其為10a+5(10a+5)2≡100a2+100a+25≡25(mod 100)但5555....55≡55(mod 100)這是矛盾的，因此5555.....55不是完全平方數。

Answer 3

(1)55=5×11
(2)555=5×111
(3)5555=5×1111
(4)55555=5×11111
(5)555555=5×111111
…………………
∵11,111,1111,11111,111111,…………………皆不是5的倍數
∴數列55，555，5555，55555,555555,…………………皆不可能是完全平方數＃

Answer 4

因為55 = 5*11555 = 5*1115555 = 5*111155555 = 5*11111其中5和11之倍數都不是完全平方數，故沒有一項是完全平方數

Answer 5

55=5*11
555=5*111=3*5*37
5555=5*1111
55555=5*11111
........
其中沒有1項是有25(5的2次方)的