四個首位數字相同的三位數，求此四個數！

Question

四個首位數字相同的三位數互不相等，且具有性質；它們的和能被它們之中的三個數整除，求此四個數！

Answer 1

先找出它們的和與它們的比值的範圍
設此四個數的首位數字為a
則此四個數最小為100a
最大不超過100(a+1)
所以比值最大不超過[100a+3*100(a+1)]/100a=4+3/a
最小要大於[100(a+1)+3*100a]/100(a+1)=4-3/(a+1)
由題意知在此範圍內必需要有三個以上的正整數
a=1,範圍2.5~7,裡面的正整數有3,4,5,6
a=2,範圍3~5.5,裡面的正整數有4,5(不夠)
a=3,範圍3.25~5,裡面的正整數有4(不夠)
其它的範圍更小
所以可以確定首位數字為1
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從(3,4,5,6)之中挑三個數出來
但兩個首位數字相同的數,不可能一個是另一個的兩倍
所以不能同時挑3,6
只要考慮(3,4,5)(4,5,6)兩種可能就好
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(1)若為(3,4,5)
[3,4,5]=60
設和為60k(k為正整數)
其中三數就是20k,15k,12k
第四個數為60k-20k-15k-12k=13k
最小的數12k>=100
最大的數20k<200
只有k=9合
此四數為108,117,135,180
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(2)若為(4,5,6)
[4,5,6]=60
設和為60t(t為正整數)
其中三數就是15t,12t,10t
第四個數為60t-15t-12t-10t=23t
最小的數12t>=100
最大的數23t<200
沒有一個數合
此情況無解
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故此四數僅有一解
108,117,135,180