奧林匹克數學試題，求 (k+1)k^(k+1)...

Question

k 為自然數，且一元二次方程式 (k-1)x2 -px + k = 0，有兩個正整數根，求 (k+1)kk+1(pp+1+p-1)=？

Answer 1

使方程式領導係數為 1
則方程式為 x^2 - p/(k - 1) x + k / (k - 1) = 0
此方程式有兩正整數根
根據根與係數公式
兩根之積 k / (k - 1) 也必為正整數
也就是說 k - 1 可以整除 k
又 k 與 k - 1 為連續自然數
自然數中, 為一滿足此要求者 唯有 1 與 2
故 k = 2
代入得方程式 x^2 - px + 2 = 0
因式分解得 (x - 1) (x - 2) = 0,
故 p = 3

=> (3*2^3)(3^4 + 3 - 1) = 24*83 = 1992

Answer 2

好厲害ㄛ＠＠

Answer 3

設兩根為α和β，則α+β=p/(k-1)，αβ=k/(k-1)因為αβ為整數，故k-1|k，k-1|k-(k-1)，k-1|1k-1=1或-1，k=2或0(0不合)α+β=p，αβ=2p=1+2=3結論k=2，p=3(k+1)kk+1(pp+1+p-1)=3*23*(34+3-1)=1992