二次方程式至少有一組整數解！

Question

x 的二次方程式 px2 - (p-1)x + (p+2) = 0，至少有一組整數解，求 p 及其對應之解！

Answer 1

重點：判別式必須為完全平方數

D = ( p - 1) ^2 - 4p (p + 2) = -3p^2 - 10p + 1
將 -3p^2 - 10p + 1 配方
得 - 3(p + 5/3)^2 + 28/3
因為 D 必須為完全平方數
故 D 的可能性只有 9 , 4 , 2 , 1 , 0 這五個

1. D = 9, 解得 P = - 2 或 - 4/3
P = - 2 時, 方程式的根為 0 或 3/2 (滿足所需)
P = - 4/3時, 方程式的根為 2 或 - 1/4 (滿足所需)

2. D = 4, 解得 P = - 3 或 - 1/3
P = - 3 時, 方程式的根為 1 或 1/3 (滿足所需)
P = - 1/3 時, 方程式的根為 5 或 - 1 (滿足所需)

3. D = 2, P 為無理數, 故不合

4. D = 1, 解得 P = 0 或 - 10/3
P = 0 時, 方程式降為一次, 故不合
P = - 10/3 時, 方程式的根為 1/2 或 4/5 (不合)

5. D = 0 , P 為無理數, 故不合

Answer 2

好像怪怪的耶~因為題目中並沒有說p為整數啊!這樣解法會有問題吧!

Answer 3

...這題應該不是這樣解的...
應該是要用根之關係
α+β=p-1
αβ=p+2
αβ-α-β=3
(α-1)(β-1)=4
... ...

Answer 4

至少一組解就是指b平方- 4a c≧0
(p-1) 平方- 4p(p+2) ≧0
接下來就看你要用算根的公式...或是分解下去算p值