等差級數與等比級數和遞迴

Question

1.在九九乘法表中的81個數,他們總和是多少?
2.一個邊長為n及n加2的長方形中,共有n(n加2)個單位正方形,如果每一個單位正方形的邊都恰有一根火柴,而此長方形共用了an根火柴棒,那麼an加1-an=________
3.設三角形ABC之面積為S,此三角型之三邊中點為A1,B1,C1,而三角形A1B1C1之面積為S1,又三角型A1B1C1三邊中點所成的三角形為A2B2C2,其面積為S2,如此繼續作無窮多個三角形,求S1加S2加......之和_______

2.後面是an+1-an

Answer 1

1.
一的九九乘法: 1*1+1*2+1*3+......+1*9=1*(1+2+3......+9)
二的九九乘法: 2*1+2*2+2*3+......+2*9=2*(1+2+3......+9)
依此類推，所以九九乘法表的81個數=
1*(1+2+3+......+9)+2*(1+2+3+......+9)+3*(1+2+3+......+9)+......+9*(1+2+3+......+9)
=(1+2+3+......+9)*(1+2+3+......+9)=(9*10/2)*(9*10/2)=45*45=2025

2.假設長方形的長為n，寬為n+2
先看橫排的火柴棒，每一排都有n根火柴，共有(n+2)+1排
因此橫排的火柴棒共有n*(n+3)根
再看直列的火柴棒，每一列都有n+2根火柴，共有n+1列
因此直列的火柴棒共有(n+2)*(n+1)根
所以邊長為n及n+2的長方形共有n*(n+3)+(n+2)*(n+1)=2n^2+6n+2根火柴棒
an=2n^2+6n+2
所以an+1=2(n+1)^2+6(n+1)+2=2n^2+10n+10
故an+1-an=(2n^2+10n+10)-(2n^2+6n+2)=4n+8

3.圖我畫不出來，將圖畫出來後利用相似三角形的原理可得，連接三邊中點將原三角形分割而成的四個小三角形皆為原三角形面積的1/4
所以S1=1/4*S
S2=1/4*S1=(1/4)^2*S
S3=1/4*S2=(1/4)^2*S1=(1/4)^3*S
依此類推，S1+S2+S3.....=1/4*S+(1/4)^2*S+(1/4)^3*S......
=S*[(1/4)+(1/4)^2+(1/4)^3......]=S*[(1/4)/(1-(1/4))]=S/3

Answer 2

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Answer 3

呵~~= =|||

Answer 4

你的九九乘法表怎麼和我小時候背的不一樣？
我的只有72個數。
從2*1=2到9*9=81

Answer 5

1.
(1+9)*9/2 + (2+18)*9/2 + (3+27)*9/2 + ... + (9+81)*9/2
= (10+20+30+40+...+90)*9/2
= 450*9/2 = 225*9 = 2025

2.
An = (n+2) (n+1) + n (n+3) = n^2 + 3n + 2 + n^2 + 3n = 2n^2 +6n + 2
An+1 = (n+3) (n+2) + (n+1) (n+4) = n^2 + 5n + 6 + n^2 + 5n + 4
= 2n^2 + 10n +10
=> An+1 - An = 4n + 8

3.
S1 = S / 4
S2 = S1 / 4 = S / 16
S3 = S2 / 4 = S / 32
以此類推, 利用無窮等比級數總和公式
S1 + S2 + S3 + ...
= (S / 4) / (1 - 1/4)
= (S / 4) / (3 / 4)
= S / 3