高中-數與座標系10點

Question

一自然數n以7除之餘3,以11除之餘5,則:
Q:n之最小值為
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如果你有多種方法就張貼一下吧,THANK YOU~




P.87<=不要理會.只是做一下記號

Answer 1

若以 a|b 表示 a可以整除bn以7除之餘3=> 7|(n-3) => (7×11)|[11×(n-3)]=> (7×11)|[2×11×(n-3)]=> 77|[22(n-3)] ......(1)以11除之餘5=> 11|(n-5) => (7×11)|[7×(n-5)]=> (7×11)|[3×7×(n-3)]=> 77|[21(n-5)] ......(2)(1)-(2) => 77|(n+39)即 77 可以整除 n+39所以 n+39=77k, k=1,2,3,...=> n=38, 115, 192, ...n 最小值為 38 

Answer 2

利用「若a≡b(mod m)，則ac≡bc(mod mc)」n≡3(mod 7)→11n≡33(mod 77)→22n≡66(mod 77)n≡5(mod 11)→7n≡35(mod 77)→21n≡105(mod 77)n≡-39≡38(mod 77)n最小值為38

Answer 3

最小值＝11 ( 7a+__)+ 5，則當__填入3時，其符合這題中的條件，所以3帶入，最後，最小值為 a=0 時， => 為38

Answer 4

以11除之餘5的數有：5，16，27，38，49，...
再將上面的數字拿去給7除除看，最小餘3的數就是38

或許你會有個疑問是：那我要找多久啊？
就這題來說，絕對不會超過7次。如果今天是找以5除之餘2同時以11除之餘5的話，答案就是27，找的次數絕對不會超過5次，在這裡第3個數就是27了。如果超過的話代表你算錯了。趕快回頭檢查吧！

在這邊有個小小的技巧就是當你在列候選數字的時候先以除數較大的那個條件著手，好比說這一題我們是以11除之餘5去找列出了：5，16，27，38，49，...
而不是拿以7除之餘3這個條件去找。如果以小的除數去找的話也是可以，不過比較麻煩就是了。

有的時候題目還會考說：小於1000的正整數且符合這樣的條件的數子有幾個？
我們可以這樣思考：38是我們認定的符合條件之最小自然數。38再加上11的倍數之後，拿來被11除還是會餘5。同樣的38再加上7的倍數之後，拿來被7除還是會餘3。所以我將38加上11與7的公倍數之後，一定還是會滿足原來的條件。所以我們就可以列出一個式子：38 + [7，11] k 就是我們的通解，其中 k可以是任何非負整數，也就是可以是零或是其他正整數。[7，11]表示7和11的最小公倍數。38+77k<1000 可以解得 k<12.49...，所以k=0,1,2,....,12，一共有13個解。

Answer 5

n = 11k + 5 = (11k + 2) + 3 = 7h + 3

11k + 2 = 7h
根據此式, 以 k = 1 , 2 , 3 , ...
逐個代入找出最小之解
k = 1, 11 + 2 = 13 (NG)
k = 2, 22 + 2 = 24 (NG)
k = 3 , 33 + 2 = 35 (BINBON)

k = 3 , h = 5 (最小解時)

所以 n = 38