請教對高中數學競賽有興趣的人士一個整數論和組合的問題

Question

八十五年嘉義區複賽(一)
第三題：
若P是奇質數，則當C(2P,P)被P除時之餘數等於2。

P.S.這題我有做出來啦，但我覺得我的方法太麻煩了，請教各位高手有沒有更快更好的方法。謝謝!

Answer 1

首先連續k個整數乘積 必為k!的倍數(這個應該不用再証明了吧)所以(p-1)! | (2p-1)(2p-2)...(p+1)(p-1)! | (p-1)!=>(p-1)! | (2p-1)(2p-2)...(p+1) - (p-1)!又因為p為奇質數所以(2p-1)(2p-2)...(p+1) - (p-1)!≡(-1)(-2)...(-p+1)-(p-1)!≡(-1)p-11*2*...(p-1)-(p-1)!≡(p-1)!-(p-1)!≡0所以 p | (2p-1)(2p-2)...(p+1) - (p-1)!且 gcd(p,(p-1)!)=1所以 p(p-1)! | (2p-1)(2p-2)...(p+1) - (p-1)!也就是 p! | (2p-1)(2p-2)...(p+1) - (p-1)!所以 (2p-1)(2p-2)...(p+1) - (p-1)! = kp! for some integer k(2p-1)(2p-2)...(p+1) - (p-1)! = kp!同乘 2p2p(2p-1)(2p-2)...(p+1) - 2p(p-1)! = 2pkp!(2p)!/p! - 2p! = 2pkp!同除 p!(2p)!/p!p! - 2 = 2pkC(2p,p) - 2 = p(2k)所以p | C(2p,p) - 2得証

Answer 2

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1405111010878
麻煩幫個忙~^^\\\

Answer 3

假設n+1,n+2,n+3,...,n+k為連續k個整數
考慮C(n+k,k)=(n+k)!/n!*k!
=(n+1)(n+2)(n+3)...(n+k)/k!
為整數
所以連續k個整數乘積 必為k!的倍數

2005-11-12 11:41:30 補充：
設k!的標準分解式為
2^a1*3^a2*5^a3*...*Pr^ar
其中質因數p的指數算法為[k/p]+[k/p^2]+...+[k/p^s]
s為使p^s小於k的最大整數
但是實際在做時我們其實是用底下的算法:
[k/p]=m1
[m1/p]=m2
......
[m_(s-1)/p]=ms
然後把m1+m2+...+ms加起來得到
仿照此法
n+1,n+2,...,n+k連續k個整數之中
有m1個p的倍數
將這些數都除以p後
有m2個p的倍數
...
有ms個p的倍數
所以這連續k個整數的乘積至少有
p^(m1+m2+...+ms)的因數#

2005-11-12 11:45:34 補充：
如果我只會標準分解式的方法
我一定不滿足
因為太麻煩了
而且不好寫
(當然還有其他的方法是我所不知道的)
直到看到用組合數的方法時
發出驚嘆
同時得到滿足了

2005-11-14 16:13:49 補充：
我就說很難寫嗎!
舉例來說
取k=10
連續整數為29,30,31,32,33,34,35,36,37,38
考慮2的指數
在10!裡是
[10/2]=5
[5/2]=2
[2/2]=1
5+2+1=8
在29*30*...*38中
可以挑出5個2的倍數30,32,34,36,38
除以2後15,16,17,18,19
可以挑出2個2的倍數16,18
除以2後8,9
可以挑出1個2的倍數8
所以29*30*...*38中2的指數至少為8
......
其他的質因數可用同樣方法

Answer 4

連續k個整數乘積 必為k!的倍數
(這個應該不用再証明了吧)
為什麼不用證呢？言下之意似乎是說很好證，可是我覺得很難ㄝ

2005-11-11 23:57:31 補充：
是可以這樣證沒錯！
可是這個證明能滿足你的求知慾嗎？
你真的滿足了嗎？
有沒有不用到排列組合，純數論的方法？

2005-11-13 21:23:14 補充：
可是我程度太差，實在看不出來你是怎麼證的，而且你的結論似乎跟你要證明的事情沒有什麼關聯？？
我試過雙變數的數學歸納法：
n！|k(k+1)(k+2)....(k+n-1)
對任意正整數n和k皆成立。
應該可以證。