費式數列的一般項[[(1+√5)/2]^n/√5+0.1]

Question

請問為什麼當n≧4時，費式數列一般項fn可以寫為[[(1+√5)/2]^n/√5+0.1]？(1+√5)/2整個分數的n次方，再除以根號5，再加0.1，再取高斯符號

Answer 1

令α=(1+√5)/2
β=(1-√5)/2
E(n)=[[(1+√5)/2]^n/√5+0.1]=[α^n/√5+0.1]
費式數列一般項F(n)=(α^n-β^n)/√5
α^n/√5-β^n/√5=F(n)
β<0, 0<｜β｜<1
｜β｜/√5=0.27639.....
｜β｜^2/√5=0.17082.....
｜β｜^3/√5=0.10557.....
｜β｜^4/√5=0.065247.....
∴當n≧4時,｜β｜^n/√5<0.1
(1)若n為偶數
F(n)=α^n/√5-β^n/√5
=α^n/√5-｜β｜^n/√5
F(n)<α^n/√5<α^n/√5+0.1 E(n)=F(n)
(2)若n為奇數
F(n)=α^n/√5-β^n/√5
=α^n/√5+｜β｜^n/√5
α^n/√5 E(n)=F(n) #

Answer 2

能用數學歸納法證明呀！
代入計算，得知n=1時成立且n=2時成立
假設n=k時成立且n=k+1時成立
當n=k+2時，F(k+2)=F(k+1)+F(k)，再化簡....(不詳述了)也成立
所以得知原式成立。

Answer 3

http://tw.knowledge.yahoo.com/question/?qid=1405111010878
麻煩數學大大幫忙一下~~感恩~~

Answer 4

如果不取高斯符號，我會把費氏數列的第n項寫成：
[(1+√5)^n - (1-√5)^n] / (2^n×√5)。
對於原式呢？我初步猜想，能不能用數學歸納法來証明呢？