說明1/89=0.0112359550561798.....

Question

說明1/89=0.0112359550561798.....
0.0
.....1
.......1
.........2
...........3
.............5
...............8
...............13
.................21
就是說明他為什麼可以用寫成費氏數列
還有請問還有哪寫數可以寫成這樣~
請各位大大幫忙解答~
感謝

Answer 1

s(x)=f(1)x+f(2)x2+f(3)x3+...s(x)/x=f(1)+f(2)x+f(3)x2+...s(x)+s(x)/x=f(1)+[f(1)+f(2)]x+[f(2)+f(3)]x2+[f(3)+f(4)]x3+...=f(1)+f(3)x+f(4)x2+f(5)x3+...=[f(1)x2+f(3)x3+f(4)x4+...]/x2=[f(1)x2-f(1)x-f(2)x2+f(1)x+f(2)x2+f(3)x3+f(4)x4+...]/x2=[f(1)x2-f(1)x-f(2)x2+s(x)]/x2s(x)x2+s(x)x=f(1)x2-f(1)x-f(2)x2+s(x)s(x)(x2+x-1)=f(1)x2-f(1)x-f(2)x2=x2-x-x2=-xs(x)=-x/(x2+x-1)=x/(1-x-x2)s(0.1)=f(1)*0.1+f(2)*0.01+f(3)*0.001+f(4)*0.0001+...所求=0.1*s(0.1)=f(1)*0.01+f(2)*0.001+f(3)*0.0001+f(4)*0.00001+...0.1*s(0.1)=0.1*0.1/(1-0.1-0.01)=0.01/0.89=1/89其他例子0.0 +0.01 -0.001 +0.0002 -0.00003 +0.000005 -0.0000008 +0.00000013 -....=(-0.1)s(-0.1)=(-0.1)(-0.1)/(1+0.1-0.01)=0.01/1.09=1/109

Answer 2

我當初想的倒沒有dd那麼一般化。我一開始考慮的是有限級數和。............S=f(1)/100+f(2)/1000+f(3)/10000+....+f(n)/10n+1則10S=f(1)/10+f(2)/100+f(3)/1000+........f(n)/10n兩式相加，11S=f(1)/10+[f(1)+f(2)]/100+[f(2)+f(3)]/1000+.....[f(n-1)+f(n)]/10n+f(n)/10n+1=[f(2)/10(f(1)=f(2)=1)+f(3)/100+f(4)/1000+....+f(n)/10n-1]+f(n+1)/10n+f(n)/10n+1=[100S-f(1)]+f(n+1)/10n+f(n)/10n+1(而f(1)=1)因此89S=1-f(n+1)/10n-f(n)/10n+1=[10n+1-10*f(n+1)-f(n)]/10n+1S=(1/89)*[10n+1-10*f(n+1)-f(n)]/10n+1這倒是可以證明10n+1-10*f(n+1)-f(n)必定是89的倍數。n=1，102-10*f(2)-f(1)=100-10-1=89=89*1，且S=1/100 n=2，103-10*f(3)-f(2)=1000-20-1=979=89*11，且S=11/1000n=3，104-10*f(4)-f(3)=10000-30-2=9968=89*112，且S=112/10000n=4，105-10*f(5)-f(4)=100000-50-3=99947=89*1123，且S=1123/100000這點略提一提，說過就算....當n趨近於無窮大時，[10n+1-10*f(n+1)-f(n)]/10n+1趨近於1，為什麼咧？由上述n=1,2,3,4可看出，10n+1成長得比[-10*f(n+1)-f(n)]還快，事實上，當n相當大時，10n+1每次都增為10倍，而[-10*f(n+1)-f(n)]只增為約(1+√5)/2倍，所以囉！因此當n趨近於無窮大時，S=(1/89)*[10n+1-10*f(n+1)-f(n)]/10n+1=(1/89)*1=1/89所以1/89可以表為Σn=1到∞f(n)/10n+1(因為我對無窮級數和極限不是很懂，所以有錯的地方請見諒)

Answer 3

如原題所指，0.0 + 0.01 + 0.001 + 0.0002 + 0.00003 + 0.000005 + 0.0000008 + 0.00000013 + 0.000000021 + ...。我們來計算他的總和。

2005-11-07 09:49:53 補充：
先考慮費式數列一般項的求法：
0 1 1 2 3 5 8 13 21 ....
先考慮等比級數中，1 + r = r^2
r= (1±√5)/2，因此知道公比為此二數之數列，都符合某項等於前二項之和。
故取An、Bn兩數列，首項都是1，公比分別為(1+√5)/2 與(1-√5)/2。
再令Cn = (An - Bn)/(√5)，則Cn就是費式數列了~
(待續...)

2005-11-08 11:37:33 補充：
接下來，令 Dn = Cn / 10^n，各位不難看出 Dn 這級數就是原題的級數。
故它等於(1/10√5)×[(An/10^n) - (Bn/10^n)]，所以相當於要計算兩個
首項為 1，公比為 (1±√5)/20 的兩個無窮等比級數之和的差。
最後再除以 10√5 。計算過程留給諸君，最後的值真的剛好就是 1/89。
以上的驗証，只是說明了原命題的成立。但是卻還沒指出為什麼會這樣~

2005-11-08 11:43:27 補充：
不過呢，終究還是兩位直接用遞回的方式計算來得簡潔扼要多了~

Answer 4

應該可以用廣義的二項式定理，
由 (100-11)^-1 的展開式看得出來吧？！

Answer 5

好神奇喔，我也想知道為什麼？