請教數學高手的問題！急（20點）

Question

請教各位數學高手:(要有詳細解答)
１,２,３........,９８共９８個自然數中,能表示成兩個整數的平方差個數有（　）個

已知p,p+２,p+６,p+８,p+１４都是質數則這樣的質數有幾（　）個,為多少呢(　）

整數a.b滿足６ab＝９a－１０b＋３０３,則a+b＝（　）

設a＜b＜0,a的平方＋b的平方＝４ab,則（a＋b）÷（a－b）之值為（　）

請找出這樣的最小的自然數,它能被１１整除,且每個位數的數字和為１３的自然數是（　）

試証：如果５位數abcde能被４１整除,則５位數eabcd也能被４１整除

謝謝老牛大大的回答,我要有詳細解答......謝謝

Answer 1

１,２,３........,９８共９８個自然數中,能表示成兩個整數的平方差個數有（73）個已知p,p+２,p+６,p+８,p+１４都是質數則這樣的質數有幾（1）個,為多少呢(5,7,11,13,19--->p=5）整數a.b滿足６ab＝９a－１０b＋３０３,則a+b＝（15）設a＜b＜0,a的平方＋b的平方＝４ab,則（a＋b）÷（a－b）之值為（-√3）請找出這樣的最小的自然數,它能被１１整除,且每個位數的數字和為１３的自然數是（319）

Answer 2

1.

能表示成a2-b2表示能表示成(a+b)*(a-b)(兩數之和乘兩數之差)，則(a+b)和(a-b)必定同時為奇數或同時為偶數(因為若一奇一偶，則a,b必然不是整數)。

而奇數可以分解成奇數乘奇數，4的倍數可以分解成偶數乘偶數，只有(2*奇數)怎麼分都是奇數乘偶數，所以要扣掉，它們是2*1,2*3,2*5,2*7.....2*49共25個。所以符合條件的共98-25=73個

2005-11-06 22:48:18 補充：
2.

不論p除以5的餘數是多少，p,p+2,p+6,p+8,p+14這五個數必定有一個是5的倍數，5的倍數中只有5是質數，所以這五數必定有一個是5。分別假設這五數是5，排除掉不合的。

唯一解答5,7,11,13,19

2005-11-06 22:48:44 補充：
3.

６ab＝９a－１０b＋３０３

10b-9a+6ab-15=288

(3a+5)(2b-3)=288

(2b-3)必定是奇數(若是偶數，會使b為分數)，(2b-3)可能是1或3或9，但是(2b-3)是1和3時，都會使a為分數，所以

2b-3=9，3a+5=32，a=9，b=6，a+b=15

2005-11-06 22:49:11 補充：
4.

a2＋b2＝４ab

a2＋b2+2ab=6ab→(a+b)2=6ab

a2＋b2-2ab=2ab→(a-b)2=2ab

(a+b)2÷(a-b)2=[(a+b)÷(a-b)]2=6ab÷2ab=3

因為a＜b＜0，所以（a＋b）÷（a－b）=√3 0

2005-11-06 22:50:33 補充：
5.

位數越少則整個數字越小，最高位數字越小則整個數字越小。但是一位數和兩位數都不可能，因為這個範圍內的11的倍數的各位數總和都不是13。

那麼我們試試三位數，假設這個三位數是abc，則

a-b+c=11k

a+b+c=13

兩式相加，2(a+c)=11k+13

2(a+c)=2或24或46....

a+c=1或12或23(23以上不合，因為a+c≦13)

2005-11-06 22:50:57 補充：
a+c=1，則b=12不合(b是一位數)

所以a+c=12，b=1，a盡量讓它小，則a=3→c=9

也就是說，如果這個三位數存在，則它最小是319，而319符合條件，且四位數必然大於319，所以最小就是319。

2005-11-06 22:51:54 補充：
6.

試証：如果５位數abcde能被４１整除,則５位數eabcd也能被４１整除

令abcd=x，則

41|10x+e

→41|(-4)*(10x+e)

→41|-40x-4e

→41|(-40x-4e)+41x+10004e....(41和10004都是41的倍數)

→41|10000e+x

→41|eabcd

這六題有些難度和技巧，解出來蠻有成就感的。可惜你結束題目太快。

2005-11-06 22:54:04 補充：
（a＋b）÷（a－b）之值為（-√3）
不是吧！？應該是正√3。