請問何謂薛丁格方程式?

Question

請問何謂薛丁格方程式?薛丁格方程式主要的重點是在敘訴什麼?

Answer 1

量子力學的重要性何在？

依狄拉克的說法，量子力學出現之後，

「所有的化學和大部分物理之數學理論背後所需的原理已經完全清楚了」。

"可是有位國立大學教授跟我朋友說過 說量子力學並不完備理論 蠻臭屁的~"

Answer 2

最佳解答透過波方程與薛丁格方程的計算後，為垃圾的機率相當高

Answer 3

agree!!

Answer 4

的確 ...

Answer 5

最佳回答根本是垃圾

Answer 6

最佳解答是不是選錯人了啊= =

Answer 7

　　物質具有波動及粒子二元的性質，量子力學告訴我們波函數與發現粒子之機率的關係是： P(x,t) dx = |Ψ(x,t)|2 dx 其中 P(x,t) dx 是指在微小空間範圍 dx 內，發現粒子的機率。而 P(x) 是單位體積機率密度分佈度函數，此值是恆為正的。機率分佈函數 P(x,t) 必須滿足一個重要的基本特性：歸一化條件，也就是 ∫P(x,t) dx = 1 注意這裏取 norm 的平方是什麼意思：∣Ψ(x,t)∣2 = Ψ*(x,t)Ψ(x,t) <= 複變函數之 norm 的平方即是如此定義。（基本定義：複變函數 f 之∣f∣2 = f*f ，其中 f* 是 f 的共軛複數，即若 f = g + hi 則 f* = g - hi 。） 　　在量子力學只能談機率 ，至於如何得到粒子運動的機率，取決於如何得到波函數Ψ(x,t)，這要從解薛丁格方程式得到。若粒子感受到外來位勢 V(x,t)，則薛丁格方程式寫成： ih dΨ(x,t)/dt = [- h2/2m ▽2 + V(x,t) ] Ψ(x,t) 粒子的波函數 Ψ(x,t) 滿足薛丁格方程式，上式是所謂“與時間有關的”薛丁格方程式。這裏的波函數Ψ(x,t)，基於其機率密度的意義，必須滿足歸一化條件：∫Ψ*(x,t)Ψ(x,t) dx = 1 。 問：有了波函數Ψ(x,t) wave function有什麼用？答：不只知道粒子如何分佈，任何可測量到的物理量，都可透過算符求期望值而獲得如下： 〈A〉=∫Ψ*(x,t) A Ψ(x,t) dx   很多狀況下，外加位勢 V(x,t) = V(x)，與時間無關。薛丁格方程式便可以進一步簡化，其解的形式可以分解為： Ψ(x,t) = φ(x)T(t) ，其中φ(x) 滿足“與時間無關的”薛丁格方程式 ： [- h2/2m ▽2 + V(x,t) ] Ψ(x,t) = E Ψ(x,t) 如何證明？ （提示：V(x,t) → V(x)，試用 Ψ(x,t) = φ(x)T(t) 然後進行分離變數的動作：即兩邊同除以φ(x)T(t)，逼出常數令為 E，則分離變數完成。） 證明：假設 Ψ(x,t) = φ(x)T(t) 代入上式（看會不會矛盾），將Ψ(x,t) 代入薛丁格方程式後同除以φ(x)T(t)，得到 [-1/ T(t)] [dT(t)/dt] = [1/φ(x)] [- h2/2m ▽2 φ(x)] + V(x)    等號左邊與時間 t 有關，而等號右邊與 x 有關，真正的解 Ψ(x,t) 會讓“ = ”永遠成立，不管 t, x 如何改變。唯一可能的情況，就是等號兩邊是同一個常數，在此我們令之為 E。（隨後我們將會發現此 E 具系統總能的意義。）     另外，回顧與時間無關的薛丁格方程式：（在此探討一維，所以偏微分可寫成全微分。） - h2/2m ▽2 ψ(x) + V(x)ψ(x) = Eψ(x) 這一個微分方程式型的本徵值問題。因為它是滿足 Hermition 算符形式的本徵值問題，故其解有不同本徵值者，其本徵函數必正交（至於什麼叫做 Hermition 算符，請參見量子力學教科書）。從上式可看出 ψ(x) 是 Hamiltonian 算符 H 的本徵函數，其中 H = - h2/2m ▽2 +V(x)，本徵值是 E，整個式子可表示為： Hψ(x) = Eψ(x) 注意只有在 H 是已知而 E 與ψ(x) 皆是未知時，上式才稱的上是本徵值問題。正因為 Hψ(x) = Eψ(x) 是本徵值問題，有多組的 En 及 ψn(x)。有多少組解，與系統維度有關，系統維度愈大，解就愈多。（剛體的轉動慣量是三個維度，故只有三個解） 定好算符便可以得到本徵值與本徵函數，而波函數Ψ(x,t)則可以表示成任意物理量算符之本徵函數的線性組合。例如，用能量算符 H 的各本徵函數 ψn(x) 來展開 Ψ(x,t) 的話，可寫成 Ψ(x,t) = Σn cnψn(x) e-Et/h 其中Σ是對所有基底函數加總，對離散態是求和，對連續態則是積分，另外係數 cn 可由 Ψ(x,t) 在任一時刻點 t = 0 之值 Ψ(x,t=0) 求得。比方說。我們知道 Ψ(x,t=0)，則運用本徵函數的正交特性，我們可以得 cn =∫ψn*(x)Ψ(x,0) dx 此係數 cn 可被詮釋為，該系統會被量測到總能量值是 En 的機率振幅，換句話說，|cn|2 = cn* cn 就是總能量會被量到是 En 的機率。 　　薛丁格方程式主要的重點在說明從量子力學只能談機率的觀點，來說明原子內的電子，如何從薛丁格方程式中得到電子運動的機率，在取決於如何得到波函數Ψ(x,t)，這要從解薛丁格方程式中得到。