武陵高中段考題

Question

X為正的有理數
( X^2 + 5 )
及( X ^2 - 5 )均為有理數的平方
求X為何

答案是 41 / 12
請列算式
謝謝

Answer 1

這題如果我考試遭遇到
會放棄
因為考試也講求成本效益

底下是我的解題過程　
我很用心解的　在烏漆媽黑的房間偷偷打電腦　並沒有完全解完
請腦筋比我清處的朋友幫我看一下可能出錯的步驟
或者請出題小朋友幫我問一下老師
謝謝

題目X為正有理數　　設為X=q/p　p,q互質且都為自然數(正整數)
再由題目另外兩個條件式列出
(q/p)^2+5=(b/a)^2　　　　　　(1)　　　　　　　a,b為自然數
(q/p)^2-5=(d/c)^2　　　　　　(2)　　　　　　　c,d為自然數
(1)(2)同乘p^2得
q^2+5*p^2=(p^2)*(b/a)^2　　　(3)
q^2-5*p^2=(p^2)*(d/c)^2　　　(4)
(3)+(4)得
2*q^2=(p^2)*[(b/a)^2+(d/c)^2]　(5)
(3)-(4)得
10*p^2=(p^2)*[(b/a)^2-(d/c)^2]　(6)
由(6)可得
(b/a)^2-(d/c)^2=10
同乘(ac)^2得
(cb)^2-(ad)^2=10*[(ac)^2]
(cb)^2=(a^2)*[d^2+10*c^2]　　(7)
可看出[d^2+10*c^2]必須為完全平方數　設為k^2　　k為自然數
整理可得
d^2+10*c^2=k^2
10*c^2=(k^2)-(d^2)=(k-d)(k+d)
如果把左邊拆為2c,5c會導致k,d不為自然數　與前面假設衝突
所以將左邊拆為10,c^2
Case I.　c^2<10　有3種　c=1,2,3　代入(7)解　都不合
　　　　c=1,3直接撞到k,d不屬於N
　　　　c=2則解出d=3,a=2,b=7　但代回(5)(6)並不能使p,q屬於N
　　　Case I.　走不通
Case II.　c^2>10
　　　　即k-d=10
　　　　　k+d=c^2
　　　　導出k=[(c^2)+10]/2　　(8)
　　　　　　d=[(c^2)-10]/2　　(9)　
　　　　看出c必為偶數
　　　　c=2m　　　　m>1,m屬於N　　　　　(c值)
　　　　代入(8)(9)得
　　　　k=2*(m^2)+5　　　　　　　　　　　(k值)
　　　　d=2*(m^2)-5　　　　　　　　　　　(d值)
　　　　代回(7)整理得
　　　　[(2m)^2]*(b^2)=(a^2)*{[2*(m^2)-5]^2+10*(2m)^2}
　　　　整理得
　　　　4*(m^2)*(b^2)=(a^2)*{[2*(m^2)+5]^2}
　　　　可得
　　　　(b/a)^2=(4*m^4+20*m^2+25)/(4*m^2)
　　　　此結果配合(c值)(d值)代入(5)式右邊中括弧得
　　　　(b/a)^2+(d/c)^2=(8*m^4+50)/(4*m^2)　　(10)
　　　　由第(5)式及前面假設p,q互質
　　　　可將(10)假設為2*(v/u)^2　　(　因為2*q^2=(p^2)*[(10式)]　)
　　　　亦即(8*m^4+50)/(4*m^2)=2*(v/u)^2
　　　　同除以2之後再同乘(4*m^2)(u^2)得
　　　　(4*m^4+25)(u^2)=4*(m^2)(v^2)
　　　　25*u^2=4*(m^2)*[(v^2)-(m^2)(u^2)]
　　　　　　　=4*(m^2)*(v-um)(v+um)　　　　(11)
接下來我就撞牆了
因為我認為　u=2t
　　　　　　v-um=1
　　　　　　v+um=25
　　　　　　解出　v=13
　　　　　　　　　um=2tm=6
　　　　　　代回(11)又不合
就卡死在這裡

請高手幫我看一下

或者根本一開始我的方向就錯了　　是否有更快的解題觀念
＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊＊
用打的比用寫的還慢五倍以上　　真累
如果指點我的話　點重點就可以了　　謝謝

2005-10-23 19:46:38 補充：
謝謝老王老師及妖精同學
我可能得先放棄這題啦
有空會再回來看看
祝大家順利

2005-10-28 08:37:37 補充：
謝謝您的肯定
有時候
我們不一定執著於非把某題解完不可
當然也有例外情形

我比較執著的是
弄清楚原理　遊戲規則　邏輯推演
當然能夠學到更快更漂亮的方法更好

加油

Answer 2

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Answer 3

這種老師普遍存在 我們學校的名師就是出題能讓班級平均低於30分 但私底下跟他討論物理觀念常讓我談不下去 只會附和參考書答案 學生自然不敢問他相對論或黑洞的高深問題了
補習班尤其很多這種"名師"
教書教到讓學生害怕討厭還能稱為"師"嗎

Answer 4

假設( X^2 + 5 ) =p^2,( X ^2 - 5 )=Q^2
p^2+Q^2=2x^2,p^2-Q^2=10
p+Q=1,2,5,10
p-Q=10,5,2,1
p=11/2,7/2,7/2,11/2
Q=9/2,3/2,-3/2,-9/2
2X^2=P^2+Q^2
X=101^0.5/2 OR 29^0.5/2